Use o teste da divergência para determinar se a série diverge, ou se é necessária uma investigação adicional.

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da divergência na série sumn=1^infty lnl(2n7n-5+14^nr). O conteúdo aqui é o teste da divergência de séries, que diz que se o termo geral não tende a zero, a série necessariamente diverge.

Passo 2

Para aplicar o teste, vamos analisar o limite do termo geral an = lnl(tfrac2n7n-5+tfrac14^nr) quando ntoinfty. Primeiro, note que:
  • tfrac2n7n-5=27-5/ntotfrac27 pois 5/nto0.
  • tfrac14^nto0 muito rápido, mas de todo modo desaparece no limite.

Passo 3

Logo, o argumento do logaritmo satisfaz
2n7n-5+14^n;longrightarrow;27+0=27

Passo 4

Portanto,
an=lnl(2n7n-5+14^nr)longrightarrowlnl(27r),
e ln(2/7) é um número constante diferente de zero (aproximadamente -1.25). Pelo teste da divergência, como o termo geral an não tende a zero, a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da divergência, pois o termo geral não tende a zero.

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