Use o método de variação dos parâmetros para calcular a solução geral das seguintes equações:
x^2 y^prime prime+x y^prime-y=x^2 e^-x, x>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler de segunda ordem com termo não homogêneo
x^2y'' + x y' - y = x^2e^-x, x>0,
usando o método de variação de parâmetros.

Passo 2

Para começar, a gente resolve a equação homogênea associada
x^2y'' + x y' - y = 0
Essa é uma equação de Cauchy–Euler. Assumimos uma solução do tipo y=x^m e substituímos:
m(m-1)x^m + m x^m - x^m = (m^2-1)x^m = 0 implies m^2-1=0 implies m=pm1
Logo, as soluções fundamentais são
y1(x)=x, y2(x)=x^-1,
e a solução geral homogênea é
[y_h=C_1x + C_2x^{-1}.

Passo 3

Agora dividimos a equação original por x^2 para ir ao formato padrão
$$y’’ + \frac1x y’ - \frac1{x^2}y = e^{-x}.
$$
Aqui temos y'' + 1x y' - 1x^2y = e^-x , P(x)=1/x e Q(x)=-1/x^2.

Passo 4

No método de variação de parâmetros a gente supõe
$$y_p = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x)
= u_1(x)x + u_2(x)x^{-1}, yp = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x) = u1(x)x + u2(x)x^-1,çõ
u1'(x)x + u2'(x)x^-1 = 0, u1'(x)y1'(x) + u2'(x)y2'(x) = g(x)
y1'=1
y2'=-x^-2
$$

Passo 5

Resolvendo o sistema para u1' e u2':
  • Da primeira equação: u2' = -x^2u1'
  • Substituindo na segunda:
u1' - x^-2(-x^2u1') = u1' + u1' = 2u1' = e^-x implies u1' = tfrace^-x2
Então
$$u_2’ = -x2\cdot\frac{e{-x}}{2} = -\frac{x^2 e^{-x}}2.
$$

Passo 6

Agora integramos para obter u1 e u2:
u1(x) = integral e^-x2,dx = -e^-x2,
u2(x) = -12integral x^2e^-x,dx
Para integral x^2e^-x,dx usamos integração por partes duas vezes e achamos
$$\int x2e{-x},dx = -(x2+2x+2)e{-x} + C.
integral x^2e^-x,dx = -(x^2+2x+2)e^-x + C
u_2(x) = -\frac12\bigl[-(x2+2x+2)e{-x}\bigr] = \frac{x2+2x+2}{2}e{-x}.
$$

Passo 7

Finalmente o particular é
yp = u1 x + u2 x^-1 = -x e^-x2 + x^2+2x+22e^-xcdot x^-1 = l(1+tfrac1xr)e^-x
Assim, a solução geral da equação completa é
[y(x) = C_1x + C_2x^{-1} + \bigl(1+\tfrac1x\bigr)e^{-x}.

Resposta

y(x) = C_{1}x + C_{2}x^{-1} + \bigl(1+\tfrac1x\bigr)e^{-x}

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