Use o método de variação dos parâmetros para calcular a solução geral das seguintes equações:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Euler de segunda ordem com termo não homogêneo
usando o método de variação de parâmetros.
Passo 2
Para começar, a gente resolve a equação homogênea associada
Essa é uma equação de Cauchy–Euler. Assumimos uma solução do tipo
Logo, as soluções fundamentais são
e a solução geral homogênea é
[y_h=C_1x + C_2x^{-1}.
Passo 3
Agora dividimos a equação original por
para ir ao formato padrão
$$y’’ + \frac1x y’ - \frac1{x^2}y = e^{-x}.
$$
Aqui temos ,
e
.
Aqui temos
Passo 4
No método de variação de parâmetros a gente supõe
$$y_p = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x)
= u_1(x)x + u_2(x)x^{-1},
$$
Passo 5
Resolvendo o sistema para
e
:
- Da primeira equação:
- Substituindo na segunda:
Então
$$u_2’ = -x2\cdot\frac{e{-x}}{2} = -\frac{x^2 e^{-x}}2.
$$
Passo 6
Agora integramos para obter
e
:
Para
usamos integração por partes duas vezes e achamos
$$\int x2e{-x},dx = -(x2+2x+2)e{-x} + C.
u_2(x) = -\frac12\bigl[-(x2+2x+2)e{-x}\bigr] = \frac{x2+2x+2}{2}e{-x}.
$$
Passo 7
Finalmente o particular é
Assim, a solução geral da equação completa é
[y(x) = C_1x + C_2x^{-1} + \bigl(1+\tfrac1x\bigr)e^{-x}.
Resposta
y(x) = C_{1}x + C_{2}x^{-1} + \bigl(1+\tfrac1x\bigr)e^{-x}