Resolva os PVIs:
6.2 y^prime e^x-y=1, y(1)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI: y' e^x-y = 1 com condição inicial y(1)=1. O conteúdo é equação diferencial separável, e vamos precisar conhecer o método de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Começamos isolando y'. Como y' = dydx, a equação fica
dydx e^x-y = 1
Dividindo ambos os lados por e^x-y, obtemos
dydx = e^y-x .

Passo 3

Reconhecemos que a equação é separável. Podemos separar as variáveis escrevendo
e^-y,dy = e^-x,dx
Isso nos permite integrar cada lado em relação à sua variável.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral e^-y,dy = integral e^-x,dx
No lado esquerdo o resultado é -e^-y e no direito é -e^-x. Logo,
- e^-y = - e^-x + C
Isolando e^-y, temos
e^-y = e^-x + K
onde K = -C.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(1)=1. Substituindo x=1 e y=1 na expressão:
e^-1 = e^-1 + K implies K = 0
Portanto,
e^-y = e^-x implies -y = -x implies y = x .

Resposta

y = x

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