Questão 6. Neste problema, usamos o resultado do problema anterior para a inércia rotacional de um disco para calcular a inércia rotacional de uma esfera sólida uniforme de massa M e raio R em relação a um eixo que passa pelo seu centro. Considere um elemento d m da esfera na forma de um disco de espessura d z a uma altura z acima do centro (veja a Fig. 4).
(a) Expressa como uma fração da massa total M, qual é a massa d m do elemento?

Passo 1

O enunciado dá uma esfera rígida e uniforme de massa M e raio R. Considera-se um elemento da esfera na forma de um disco fino de espessura dz situado a uma altura z acima do centro; esse disco tem raio r. A pergunta é: expressa como fração da massa total M, qual é a massa dm desse elemento (ou seja, encontrar \dfrac{dm}{M}).
Informações relevantes extraídas do enunciado/imagem:
  • o disco está a uma altura z do centro e tem espessura dz;
  • o raio do disco vale r=\sqrt{R^{2}-z^{2}} (este dado foi obtido da imagem).

Passo 2

Conceito necessário: densidade volumétrica para um corpo uniforme. Para um objeto com massa total M e volume V distribuídos uniformemente, a densidade volumétrica (massa por unidade de volume) é
\rho=\frac{M}{V}.
No caso da esfera de raio R, o volume é
V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi R^{3}.
Logo a densidade da esfera uniforme é
\rho=\frac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}.
Explicando de forma prática: \rho indica quantos quilogramas (ou unidades de massa) existem por metro cúbico (ou unidade de volume) dentro da esfera. Como a esfera é uniforme, essa razão é a mesma em qualquer ponto.

Passo 3

Volume do elemento disco: um disco fino de raio r e espessura dz tem volume
dV = \text{(área do círculo)}\times dz = \pi r^{2}\,dz.áí
Pela imagem temos r=\sqrt{R^{2}-z^{2}}, então
r^{2}=R^{2}-z^{2},
e assim
dV=\pi\,(R^{2}-z^{2})\,dz.
Observação prática: dz é um comprimento muito pequeno; multiplicando pela área dá o volume do “fatia” da esfera.

Passo 4

Massa do elemento: a massa do pequeno volume dV é \,dm=\rho\,dV. Substituindo \rho e dV obtidos:
dm=\frac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}\;\cdot\;\pi\,(R^{2}-z^{2})\,dz.
Agora simplifica-se cancelando \pi e reorganizando:
dm=\frac{3M}{4R^{3}}\,(R^{2}-z^{2})\,dz.
Portanto, como fração da massa total M temos
\frac{dm}{M}=\frac{3}{4R^{3}}\,(R^{2}-z^{2})\,dz.
Explicação dos símbolos: R é o raio total da esfera; z é a coordenada vertical do disco medida a partir do centro; dz é a espessura infinitesimal do disco; dm é a massa dessa fatia.

Passo 5

Comentário didático curto e motivador: esse procedimento é um exemplo clássico do método de fatias (método dos cilindros/discos) — cortar o sólido em pedaços simples cuja massa é fácil de calcular e integrar quando necessário. Aqui ainda não integramos; só expressamos a massa de cada fatia em função de z, que é o que o enunciado pedia. Dá pra usar essa expressão depois, por exemplo, para calcular o momento de inércia integrando r_{\perp}^{2}\,dm.

Resposta

\dfrac{dm}{M}=\dfrac{3}{4R^{3}}\,(R^{2}-z^{2})\,dz

Exercícios relacionados