Questão 6. Neste problema, usamos o resultado do problema anterior para a inércia rotacional de um disco para calcular a inércia rotacional de uma esfera sólida uniforme de massa
e raio
em relação a um eixo que passa pelo seu centro. Considere um elemento
da esfera na forma de um disco de espessura
a uma altura
acima do centro (veja a Fig. 4).
(a) Expressa como uma fração da massa total
, qual é a massa
do elemento?
Passo 1
O enunciado dá uma esfera rígida e uniforme de massa
e raio
. Considera-se um elemento da esfera na forma de um disco fino de espessura
situado a uma altura
acima do centro; esse disco tem raio
. A pergunta é: expressa como fração da massa total
, qual é a massa
desse elemento (ou seja, encontrar
).
Informações relevantes extraídas do enunciado/imagem:
- o disco está a uma altura
do centro e tem espessura ; - o raio do disco vale
(este dado foi obtido da imagem).
Passo 2
Conceito necessário: densidade volumétrica para um corpo uniforme. Para um objeto com massa total
e volume
distribuídos uniformemente, a densidade volumétrica (massa por unidade de volume) é
No caso da esfera de raio
, o volume é
Logo a densidade da esfera uniforme é
Explicando de forma prática:
indica quantos quilogramas (ou unidades de massa) existem por metro cúbico (ou unidade de volume) dentro da esfera. Como a esfera é uniforme, essa razão é a mesma em qualquer ponto.
Passo 3
Volume do elemento disco: um disco fino de raio
e espessura
tem volume
Pela imagem temos
, então
e assim
Observação prática:
é um comprimento muito pequeno; multiplicando pela área dá o volume do “fatia” da esfera.
Passo 4
Massa do elemento: a massa do pequeno volume
é
. Substituindo
e
obtidos:
Agora simplifica-se cancelando
e reorganizando:
Portanto, como fração da massa total
temos
Explicação dos símbolos:
é o raio total da esfera;
é a coordenada vertical do disco medida a partir do centro;
é a espessura infinitesimal do disco;
é a massa dessa fatia.
Passo 5
Comentário didático curto e motivador: esse procedimento é um exemplo clássico do método de fatias (método dos cilindros/discos) — cortar o sólido em pedaços simples cuja massa é fácil de calcular e integrar quando necessário. Aqui ainda não integramos; só expressamos a massa de cada fatia em função de
, que é o que o enunciado pedia. Dá pra usar essa expressão depois, por exemplo, para calcular o momento de inércia integrando
.