- (Funções Elementares e Euler) Mostre as seguintes relações fundamentais:
(c)
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade
para
(que pode ser um número complexo). Não há outros dados no enunciado além dessa igualdade a ser demonstrada.
Passo 2
Vamos recordar as definições/expressiones que usaremos (válidas para argumentos complexos também).
A função hiperbólica seno é definida por
onde
é qualquer número complexo. Aqui
é a exponencial complexa (a extensão natural de
para argumentos complexos).
A função seno trigonométrica pode ser expressa em termos da exponencial complexa usando a fórmula de Euler. A fórmula de Euler é
para qualquer
(real ou complexo, interpretando
e
como funções complexas quando necessário). Essas fórmulas são as ferramentas que vamos usar.
Passo 3
Usando a definição de
com
, escrevemos diretamente
Isto é apenas substituir
na definição de
.
Passo 4
Agora usamos a fórmula de Euler para
e
. Pela fórmula de Euler temos
e
porque trocar
por
muda o sinal do termo
.
Subtraindo as duas expressões obtemos
Passo 5
Voltando para a expressão de
do Passo 3 e substituindo o resultado do Passo 4:
Assim chegamos à identidade desejada.
Passo 6
Comentário extra (opcional, para fixar a ideia): a mesma conclusão pode ser obtida a partir das séries de Taylor. As séries são
Se substituir
na série de
,
porque
. Isso reforça que a identidade vale para
complexo.