1. (Funções Elementares e Euler) Mostre as seguintes relações fundamentais:
(c) \operatorname{sinh} (i z)=i \sin (z)

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
\operatorname{sinh}(i z)=i \sin(z)
para z (que pode ser um número complexo). Não há outros dados no enunciado além dessa igualdade a ser demonstrada.

Passo 2

Vamos recordar as definições/expressiones que usaremos (válidas para argumentos complexos também).
A função hiperbólica seno é definida por
\operatorname{sinh}(w)=\frac{e^{w}-e^{-w}}{2},
onde w é qualquer número complexo. Aqui e^{w} é a exponencial complexa (a extensão natural de e^x para argumentos complexos).
A função seno trigonométrica pode ser expressa em termos da exponencial complexa usando a fórmula de Euler. A fórmula de Euler é
e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)
para qualquer \theta (real ou complexo, interpretando \cos e \sin como funções complexas quando necessário). Essas fórmulas são as ferramentas que vamos usar.

Passo 3

Usando a definição de \operatorname{sinh} com w=i z, escrevemos diretamente
\operatorname{sinh}(i z)=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2}.
Isto é apenas substituir w=i z na definição de \operatorname{sinh}.

Passo 4

Agora usamos a fórmula de Euler para e^{i z} e e^{-i z}. Pela fórmula de Euler temos
e^{i z}=\cos(z)+i\sin(z)
e
e^{-i z}=\cos(z)-i\sin(z),
porque trocar z por -z muda o sinal do termo \sin.
Subtraindo as duas expressões obtemos
e^{i z}-e^{-i z}= \bigl(\cos(z)+i\sin(z)\bigr)-\bigl(\cos(z)-i\sin(z)\bigr)=2i\sin(z).

Passo 5

Voltando para a expressão de \operatorname{sinh}(i z) do Passo 3 e substituindo o resultado do Passo 4:
\operatorname{sinh}(i z)=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2}=\frac{2i\sin(z)}{2}=i\sin(z).
Assim chegamos à identidade desejada.

Passo 6

Comentário extra (opcional, para fixar a ideia): a mesma conclusão pode ser obtida a partir das séries de Taylor. As séries são
\operatorname{sinh}(w)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{w^{2k+1}}{(2k+1)!}, \qquad \sin(w)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{w^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Se substituir w=iz na série de \operatorname{sinh},
\operatorname{sinh}(i z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(iz)^{2k+1}}{(2k+1)!}=i\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}=i\sin(z),
porque (i)^{2k+1}=i\cdot (i^2)^k=i\cdot(-1)^k. Isso reforça que a identidade vale para z complexo.

Resposta

\operatorname{sinh}(i z)=i \sin(z)

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