Justifique as seguintes afirmações:
a) Um sistema linear homogêneo ou possui soluçāo única ou admite infinitas soluções.
b) Um sistema linear homogêneo com mais incógnitas do que equações sempre possui infinitas soluções. Mostre que isso não é verdade sempre se um tal sistema nāo for homogeneo.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que já temos:
  • Pedido (a): justificar que um sistema linear homogêneo ou possui solução única ou admite infinitas soluções.
  • Pedido (b): justificar que um sistema linear homogêneo com mais incógnitas do que equações sempre possui infinitas soluções e mostrar que a afirmação análoga NÃO é sempre verdadeira se o sistema não for homogêneo.
Informações relevantes que o enunciado dá (assunções padrão que vou usar):
  • Por “sistema linear homogêneo” entende-se um sistema da forma A x = 0, onde A é uma matriz de coeficientes e 0 é o vetor nulo (todos os termos independentes são zero).
  • Vou trabalhar sobre o corpo dos números reais \mathbb{R} (isso garante, por exemplo, que existem infinitos escalares).
  • Não há outros dados numéricos específicos; trata-se de justificar proposições gerais.

Passo 2

Definições e fatos básicos que vamos usar (explicados devagar):
  • Um sistema linear homogêneo é A x = 0, com A de tamanho m\times n ( m equações e n incógnitas) e x\in\mathbb{R}^n.
  • Uma solução x é um vetor que satisfaz a igualdade matricial. O vetor x=0 (todos os componentes zero) sempre satisfaz A\cdot 0 = 0, portanto toda sistema homogêneo tem pelo menos essa solução, chamada solução trivial.
  • O conjunto de todas as soluções de A x = 0 chama-se núcleo ou espaço nulo de A, denotado \ker(A). Este conjunto tem propriedades de subespaço vetorial: se u e v são soluções então u+v é solução, e se \alpha\in\mathbb{R} e v é solução então \alpha v é solução. Vou explicar por que isso vale (fechamento por soma e por escalares).

Passo 3

Propriedade de subespaço (por que a solução forma um subespaço):
  • Se u e v são soluções, então A u = 0 e A v = 0. Pela linearidade da multiplicação matricial,
A(u+v)=Au+Av=0+0=0,
logo u+v é solução.
  • Se \alpha\in\mathbb{R} e v é solução, então
A(\alpha v)=\alpha (Av)=\alpha\cdot 0=0,
logo \alpha v é solução.
  • Como o conjunto de soluções contém o vetor zero, é fechado sob soma e multiplicação por escalares, portanto é um subespaço de \mathbb{R}^n.

Passo 4

Prova de (a): por que o sistema homogêneo tem ou solução única ou infinitas soluções
  • Primeiro observar: a solução trivial x=0 existe sempre.
  • Se não existir nenhuma solução além da trivial, então o sistema tem solução única (essa solução única é x=0).
  • Se existir uma solução não-trivial v (ou seja, v\neq 0 e A v=0), então, por fechamento por escalares, para qualquer \alpha\in\mathbb{R} o vetor \alpha v também é solução:
A(\alpha v)=\alpha A v=\alpha\cdot 0=0.
  • Como \mathbb{R} tem infinitos escalares \alpha, os vetores \alpha v são infinitos (e distintos, porque v\neq 0 e \alpha_1\neq\alpha_2\Rightarrow \alpha_1 v\neq \alpha_2 v). Logo há infinitas soluções.
  • Conclusão: ou só a solução trivial (única) ou existem infinitas soluções não-triviais. Isto prova (a).
Comentário didático rápido: a ideia chave é que a presença de uma solução não-nula dá um “direcionamento” no espaço de soluções; multiplicando por escalares obtemos uma reta inteira de soluções, e se houver ainda mais vetores independentes obtemos planos, etc. Sempre daí surgem infinitas soluções quando há alguma não-trivial.

Passo 5

Teoria necessária para (b): pivôs, variáveis líderes e variáveis livres (explicação prática)
  • Ao aplicar eliminação de Gauss a um sistema A x = 0 com m equações e n incógnitas:
    • Cada linha pode contribuir no máximo com um pivô (uma posição de liderança) depois de escalonar.
    • Logo o número de pivôs (que é o posto ou \operatorname{rank}(A)) satisfaz \operatorname{rank}(A)\le m.
    • As variáveis correspondentes às colunas com pivô são variáveis líderes; as outras colunas correspondem a variáveis livres.
  • Se n>m então n-\operatorname{rank}(A)\ge n-m>0, portanto existe pelo menos uma variável livre quando escalonamos. Uma variável livre pode receber qualquer valor real e gera soluções diferentes — logo haverá infinitas soluções.

Passo 6

Prova formal de (b) para o caso homogêneo usando a ideia acima
  • Seja \operatorname{rank}(A)=r. Pelo teorema do posto-nulidade (explicado na prática acima),
\dim\ker(A)=n-r.
  • Como r\le m e m<n, segue r\le m < n e portanto n-r\ge n-m>0. Assim \dim\ker(A)\ge 1, ou seja existe pelo menos uma direção não-nula no núcleo, logo existe solução não-trivial.
  • Pelo argumento do Passo 4, a existência de uma solução não-trivial implica infinitas soluções. Portanto qualquer sistema homogêneo com n>m tem infinitas soluções.
Exemplo concreto para fixar a ideia:
  • Considere duas equações e três incógnitas ( m=2,n=3); ao escalonar, no máximo há dois pivôs, então sobra pelo menos uma variável livre; atribuindo valores distintos a essa variável livre obtemos infinitas soluções.

Passo 7

Mostrar que o análogo NÃO vale sempre se o sistema NÃO for homogêneo — fornecer um contraexemplo simples
  • Considere o sistema não-homogêneo com duas equações e três incógnitas:
\begin{cases} x + y + z = 0,\\[4pt] x + y + z = 1. \end{cases}
  • As duas equações têm o mesmo lado esquerdo mas constantes diferentes; subtraindo-as obtemos 0 = 1, contradição. Portanto o sistema é inconsistente: não existe solução.
  • Aqui temos m=2 e n=3 (mais incógnitas que equações) e, ainda assim, o sistema NÃO tem infinitas soluções — na verdade não tem NENHUMA. Logo a afirmação análoga para sistemas não-homogêneos é falsa em geral.
Comentário didático: a diferença chave é que, no caso homogêneo, o vetor zero garante consistência; no caso não-homogêneo a consistência depende do lado direito e a existência de soluções não é garantida. Por isso o argumento que emulei para o homogêneo (variáveis livres → infinitas soluções) só vale quando o sistema é consistente; um sistema não-homogêneo pode ser inconsistente apesar de ter variáveis livres, ou ser consistente e ter infinitas soluções se o posto da matriz dos coeficientes for igual ao posto da matriz aumentada mas menor que n.]

Passo 8

Resumo final do raciocínio (lógico e prático) para usar na prova
  • Para (a): mostrar que o conjunto de soluções de \,A x=0, é subespaço, observar a solução trivial e usar multiplicação por escalares para gerar infinitas soluções a partir de qualquer solução não-trivial.
  • Para (b) (homogêneo): contar pivôs / usar posto: com n>m o posto r\le m<n implica \dim\ker(A)=n-r>0, então existe solução não-trivial e, por (a), infinitas soluções.
  • Contraexemplo para o não-homogêneo: dar um par de equações contraditórias com o mesmo membro esquerdo e constantes diferentes, por exemplo \,x+y+z=0 e \,x+y+z=1, que mostram que não há soluções mesmo com n>m.

Resposta

(a) Um sistema linear homogêneo \,A x=0\) tem sempre a solução trivial \(x=0\); se existir uma solução não-trivial \(v\) então todos os escalares \(\alpha v\) (com \(\alpha\in\mathbb{R}\)) são soluções, portanto há infinitas soluções; assim o sistema ou tem solução única (a trivial) ou admite infinitas soluções. (b) Se \(n>m\) então \(\operatorname{rank}(A)\le m<n\), logo \(\dim\ker(A)=n-\operatorname{rank}(A)>0\), portanto existe solução não-trivial e, por (a), infinitas soluções (para o caso homogêneo). Isso NÃO vale sempre para sistemas não-homogêneos: por exemplo o sistema \[\begin{cases} x+y+z=0,\\[4pt] x+y+z=1 \end{cases}
tem (m=2<n=3] e, mesmo assim, é inconsistente (não tem solução).]

Exercícios relacionados