Justifique as seguintes afirmações:
a) Um sistema linear homogêneo ou possui soluçāo única ou admite infinitas soluções.
b) Um sistema linear homogêneo com mais incógnitas do que equações sempre possui infinitas soluções. Mostre que isso não é verdade sempre se um tal sistema nāo for homogeneo.
a) Um sistema linear homogêneo ou possui soluçāo única ou admite infinitas soluções.
b) Um sistema linear homogêneo com mais incógnitas do que equações sempre possui infinitas soluções. Mostre que isso não é verdade sempre se um tal sistema nāo for homogeneo.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que já temos:
- Pedido (a): justificar que um sistema linear homogêneo ou possui solução única ou admite infinitas soluções.
- Pedido (b): justificar que um sistema linear homogêneo com mais incógnitas do que equações sempre possui infinitas soluções e mostrar que a afirmação análoga NÃO é sempre verdadeira se o sistema não for homogêneo.
Informações relevantes que o enunciado dá (assunções padrão que vou usar):
- Por “sistema linear homogêneo” entende-se um sistema da forma
onde é uma matriz de coeficientes e é o vetor nulo (todos os termos independentes são zero). - Vou trabalhar sobre o corpo dos números reais
(isso garante, por exemplo, que existem infinitos escalares). - Não há outros dados numéricos específicos; trata-se de justificar proposições gerais.
Passo 2
Definições e fatos básicos que vamos usar (explicados devagar):
- Um sistema linear homogêneo é
com de tamanho ( equações e incógnitas) e . - Uma solução
é um vetor que satisfaz a igualdade matricial. O vetor (todos os componentes zero) sempre satisfaz portanto toda sistema homogêneo tem pelo menos essa solução, chamada solução trivial. - O conjunto de todas as soluções de
chama-se núcleo ou espaço nulo de , denotado . Este conjunto tem propriedades de subespaço vetorial: se e são soluções então é solução, e se e é solução então é solução. Vou explicar por que isso vale (fechamento por soma e por escalares).
Passo 3
Propriedade de subespaço (por que a solução forma um subespaço):
- Se
e são soluções, então e . Pela linearidade da multiplicação matricial,
logo
é solução.
- Se
e é solução, então
logo
é solução.
- Como o conjunto de soluções contém o vetor zero, é fechado sob soma e multiplicação por escalares, portanto é um subespaço de
.
Passo 4
Prova de (a): por que o sistema homogêneo tem ou solução única ou infinitas soluções
- Primeiro observar: a solução trivial
existe sempre. - Se não existir nenhuma solução além da trivial, então o sistema tem solução única (essa solução única é
). - Se existir uma solução não-trivial
(ou seja, e ), então, por fechamento por escalares, para qualquer o vetor também é solução:
- Como
tem infinitos escalares , os vetores são infinitos (e distintos, porque e ). Logo há infinitas soluções. - Conclusão: ou só a solução trivial (única) ou existem infinitas soluções não-triviais. Isto prova (a).
Comentário didático rápido: a ideia chave é que a presença de uma solução não-nula dá um “direcionamento” no espaço de soluções; multiplicando por escalares obtemos uma reta inteira de soluções, e se houver ainda mais vetores independentes obtemos planos, etc. Sempre daí surgem infinitas soluções quando há alguma não-trivial.
Passo 5
Teoria necessária para (b): pivôs, variáveis líderes e variáveis livres (explicação prática)
- Ao aplicar eliminação de Gauss a um sistema
com equações e incógnitas: - Cada linha pode contribuir no máximo com um pivô (uma posição de liderança) depois de escalonar.
- Logo o número de pivôs (que é o posto ou
) satisfaz . - As variáveis correspondentes às colunas com pivô são variáveis líderes; as outras colunas correspondem a variáveis livres.
- Se
então , portanto existe pelo menos uma variável livre quando escalonamos. Uma variável livre pode receber qualquer valor real e gera soluções diferentes — logo haverá infinitas soluções.
Passo 6
Prova formal de (b) para o caso homogêneo usando a ideia acima
- Seja
. Pelo teorema do posto-nulidade (explicado na prática acima),
- Como
e , segue e portanto . Assim , ou seja existe pelo menos uma direção não-nula no núcleo, logo existe solução não-trivial. - Pelo argumento do Passo 4, a existência de uma solução não-trivial implica infinitas soluções. Portanto qualquer sistema homogêneo com
tem infinitas soluções.
Exemplo concreto para fixar a ideia:
- Considere duas equações e três incógnitas (
); ao escalonar, no máximo há dois pivôs, então sobra pelo menos uma variável livre; atribuindo valores distintos a essa variável livre obtemos infinitas soluções.
Passo 7
Mostrar que o análogo NÃO vale sempre se o sistema NÃO for homogêneo — fornecer um contraexemplo simples
- Considere o sistema não-homogêneo com duas equações e três incógnitas:
- As duas equações têm o mesmo lado esquerdo mas constantes diferentes; subtraindo-as obtemos
, contradição. Portanto o sistema é inconsistente: não existe solução. - Aqui temos
e (mais incógnitas que equações) e, ainda assim, o sistema NÃO tem infinitas soluções — na verdade não tem NENHUMA. Logo a afirmação análoga para sistemas não-homogêneos é falsa em geral.
Comentário didático: a diferença chave é que, no caso homogêneo, o vetor zero garante consistência; no caso não-homogêneo a consistência depende do lado direito e a existência de soluções não é garantida. Por isso o argumento que emulei para o homogêneo (variáveis livres → infinitas soluções) só vale quando o sistema é consistente; um sistema não-homogêneo pode ser inconsistente apesar de ter variáveis livres, ou ser consistente e ter infinitas soluções se o posto da matriz dos coeficientes for igual ao posto da matriz aumentada mas menor que
.]
Passo 8
Resumo final do raciocínio (lógico e prático) para usar na prova
- Para (a): mostrar que o conjunto de soluções de
, é subespaço, observar a solução trivial e usar multiplicação por escalares para gerar infinitas soluções a partir de qualquer solução não-trivial. - Para (b) (homogêneo): contar pivôs / usar posto: com
o posto implica , então existe solução não-trivial e, por (a), infinitas soluções. - Contraexemplo para o não-homogêneo: dar um par de equações contraditórias com o mesmo membro esquerdo e constantes diferentes, por exemplo
e , que mostram que não há soluções mesmo com .
Resposta
(a) Um sistema linear homogêneo
tem (m=2<n=3] e, mesmo assim, é inconsistente (não tem solução).]