Considere o sistema linear sobre
de duas equações e três incógnitas.
a) Usando o fato de que o gráfico de cada equação desse tipo (quando
e
não são simultanemente nulos) é um plano no espaço
para explicar por que tais sistemas lineares têm sempre ou nenhuma solução ou infinitas soluções.
b) Explique porque o sistema tem necessariamente infinitas soluções se
.
de duas equações e três incógnitas.
b) Explique porque o sistema tem necessariamente infinitas soluções se
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- O enunciado nos dá o sistema linear com duas equações e três incógnitas:
com a observação de que, quando
não são simultaneamente nulos, o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
é um plano em
.
- O enunciado pede:
(a) Usando a interpretação geométrica (cada equação ↔ um plano), explicar por que tais sistemas têm sempre ou nenhuma solução ou infinitas soluções.
(b) Explicar por que o sistema tem necessariamente infinitas soluções quando.]
Passo 2
Entendendo a equação de um plano e o vetor normal.
- Uma equação do tipo
pode ser escrita como produto escalar
onde
é o vetor normal ao plano e
é o vetor posição. Aqui:
-
indica a direção perpendicular ao plano; -
é qualquer ponto do espaço; -
é um número que regula a posição do plano ao longo da direção .
Essa forma ajuda a pensar geometricamente: dois planos são descritos por
e
.
Passo 3
Casos possíveis para dois planos em
— ideia geral.
Duas situações fundamentais são determinadas pela relação entre os vetores normais
e
:
-
e são proporcionais (ou seja, existe tal que ). Então os planos são paralelos (têm a mesma direção normal). Dois subcasos: - Se
também, então as duas equações são a mesma equação do plano (os planos coincidem). Logo todo ponto do plano comum é solução — isso dá infinitas soluções. - Se
, então os planos são paralelos distintos (mesma direção, deslocados um do outro) e não se intersectam — não há pontos que satisfaçam ambas as equações, logo o sistema é inconsistente (nenhuma solução).
- Se
-
e não são proporcionais. Então os planos não são paralelos; geometricamente, dois planos não paralelos em sempre se intersectam ao longo de uma reta (uma linha). Essa reta contém infinitos pontos, portanto o sistema tem infinitas soluções (todos os pontos dessa reta).
Passo 4
Explicando por que não é possível ter exatamente uma solução (um ponto isolado).
- Interseção de dois planos em
: - Se paralelos distintos → interseção vazia.
- Se coincidentes → interseção é o próprio plano (dimensão
) → infinitas soluções. - Se não paralelos → interseção é uma reta (dimensão
) → infinitas soluções.
Uma única solução isolada (um ponto) exigiria que a interseção tivesse dimensão
. Mas duas superfícies planas de dimensão
em um espaço de dimensão
não podem intersectar em um conjunto de dimensão
(a menos que haja mais restrições, por exemplo uma terceira equação) — por isso com apenas duas equações/planos não se obtém um único ponto solução. Portanto as únicas possibilidades são: nenhuma solução ou infinitas soluções.
Passo 5
Uma visão algébrica simples (eliminação / graus de liberdade) que complementa a visão geométrica.
-
Temos
incógnitas e equações lineares independentes no máximo. Ao resolver por eliminação (ou por escalonamento), normalmente sobra pelo menos uma variável livre porque o número de equações é menor que o número de incógnitas. Uma variável livre gera um parâmetro que pode variar continuamente, produzindo uma família infinita de soluções parametrizada por esse parâmetro. Isso corresponde, geometricamente, à reta de interseção entre os planos. -
Exceção algébrica: se as duas equações são incompatíveis (por exemplo, eliminar gera algo do tipo
), então não há solução — corresponde ao caso de planos paralelos distintos.
Passo 6
Aplicando as condições dos vetores normais com fórmulas explícitas.
- Condição de proporcionalidade:
significa
isto é,
(quando os denominadores não são zero, interpretar adequadamente os casos com zeros). Se essa igualdade de razões vale, verificar se também
. Se sim → mesmos planos; se não → planos paralelos distintos (sem solução).
- Se não existe tal
, então os vetores normais não são múltiplos um do outro → planos não paralelos → interseção é uma reta → infinitas soluções.
Passo 7
Parte (b): por que, quando
, o sistema tem necessariamente infinitas soluções.
- Com
cada equação tem a forma homogênea
Geom. interpretação: cada plano passa pela origem
(pois
satisfaz todas as equações). Assim os dois planos são subespaços lineares de dimensão
(são planos que contêm a origem).
-
Dois planos que passam pela origem (dois subespaços de dimensão
em ) sempre se intersectam em pelo menos uma reta. Rigorosamente, usando contagem de dimensões: a soma das dimensões é , mas o espaço ambiente tem dimensão , logo a interseção tem dimensão pelo menos . Isso garante que a interseção tem dimensão , isto é, contém uma reta inteira — portanto infinitas soluções. -
Intuição mais básica: como ambos os planos têm o ponto
em comum e não podem ser paralelos distintos (dois planos que passam pela origem não podem estar deslocados), ou são o mesmo plano (infinitas soluções) ou se cruzam formando uma reta passando pela origem (infinitas soluções). Em qualquer caso, há infinitas soluções.
Passo 8
Resumo didático-útil para a prova (passos práticos para identificar o caso rápido).
-
Passo prático 1: calcular se
é múltiplo de . Se sim, comparar e na mesma razão: - se
→ mesmos planos → infinitas soluções; - se
→ paralelos distintos → nenhuma solução.
- se
-
Passo prático 2: se
não é múltiplo de , concluir imediatamente que a interseção é uma reta → infinitas soluções. -
Passo prático 3 (caso homogêneo): se
não é preciso mais nada — sempre infinitas soluções (pelo argumento geométrico ou pelo argumento de dimensões).
Resposta
(a) Porque cada equação representa um plano em
; dois planos podem ser paralelos e distintos (nenhuma solução), coincidentes (infinitas soluções) ou, se não forem paralelos, intersectam-se numa reta (infinitas soluções). Não há possibilidade de exatamente uma solução com apenas duas equações em três incógnitas.
(b) Se
as duas equações são planos que passam pela origem; tais planos ou coincidem ou intersectam-se numa reta que passa pela origem, logo o sistema homogêneo tem sempre infinitas soluções.