Considere o sistema linear sobre \mathbb{R}
de duas equações e três incógnitas.
\left\{\begin{array}{l} a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z=d_{1} \\\ a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z=d_{2} \end{array}\right.
a) Usando o fato de que o gráfico de cada equação desse tipo (quando a_{i}, b_{i} e c_{i} não são simultanemente nulos) é um plano no espaço x y z para explicar por que tais sistemas lineares têm sempre ou nenhuma solução ou infinitas soluções.
b) Explique porque o sistema tem necessariamente infinitas soluções se d_{1}=d_{2}=0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • O enunciado nos dá o sistema linear com duas equações e três incógnitas:
\left\{\begin{array}{l} a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1},\\[4pt] a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2}, \end{array}\right.
com a observação de que, quando a_{i},b_{i},c_{i} não são simultaneamente nulos, o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem a equação a_{i}x+b_{i}y+c_{i}z=d_{i} é um plano em \mathbb{R}^{3}.
  • O enunciado pede:
    (a) Usando a interpretação geométrica (cada equação ↔ um plano), explicar por que tais sistemas têm sempre ou nenhuma solução ou infinitas soluções.
    (b) Explicar por que o sistema tem necessariamente infinitas soluções quando d_{1}=d_{2}=0.]

Passo 2

Entendendo a equação de um plano e o vetor normal.
  • Uma equação do tipo a x+b y+c z=d pode ser escrita como produto escalar
\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}=d,
onde \mathbf{n}=(a,b,c) é o vetor normal ao plano e \mathbf{r}=(x,y,z) é o vetor posição. Aqui:
  • \mathbf{n} indica a direção perpendicular ao plano;
  • \mathbf{r} é qualquer ponto (x,y,z) do espaço;
  • d é um número que regula a posição do plano ao longo da direção \mathbf{n}.
Essa forma ajuda a pensar geometricamente: dois planos são descritos por \mathbf{n}_{1}\cdot\mathbf{r}=d_{1} e \mathbf{n}_{2}\cdot\mathbf{r}=d_{2}.

Passo 3

Casos possíveis para dois planos em \mathbb{R}^{3} — ideia geral.
Duas situações fundamentais são determinadas pela relação entre os vetores normais \mathbf{n}_{1}=(a_{1},b_{1},c_{1}) e \mathbf{n}_{2}=(a_{2},b_{2},c_{2}):
  1. \mathbf{n}_{1} e \mathbf{n}_{2} são proporcionais (ou seja, existe \lambda\in\mathbb{R} tal que \mathbf{n}_{1}=\lambda\mathbf{n}_{2}). Então os planos são paralelos (têm a mesma direção normal). Dois subcasos:
    • Se d_{1}=\lambda d_{2} também, então as duas equações são a mesma equação do plano (os planos coincidem). Logo todo ponto do plano comum é solução — isso dá infinitas soluções.
    • Se d_{1}\neq\lambda d_{2}, então os planos são paralelos distintos (mesma direção, deslocados um do outro) e não se intersectam — não há pontos que satisfaçam ambas as equações, logo o sistema é inconsistente (nenhuma solução).
  2. \mathbf{n}_{1} e \mathbf{n}_{2} não são proporcionais. Então os planos não são paralelos; geometricamente, dois planos não paralelos em \mathbb{R}^{3} sempre se intersectam ao longo de uma reta (uma linha). Essa reta contém infinitos pontos, portanto o sistema tem infinitas soluções (todos os pontos dessa reta).

Passo 4

Explicando por que não é possível ter exatamente uma solução (um ponto isolado).
  • Interseção de dois planos em \mathbb{R}^{3}:
    • Se paralelos distintos → interseção vazia.
    • Se coincidentes → interseção é o próprio plano (dimensão 2) → infinitas soluções.
    • Se não paralelos → interseção é uma reta (dimensão 1) → infinitas soluções.
Uma única solução isolada (um ponto) exigiria que a interseção tivesse dimensão 0. Mas duas superfícies planas de dimensão 2 em um espaço de dimensão 3 não podem intersectar em um conjunto de dimensão 0 (a menos que haja mais restrições, por exemplo uma terceira equação) — por isso com apenas duas equações/planos não se obtém um único ponto solução. Portanto as únicas possibilidades são: nenhuma solução ou infinitas soluções.

Passo 5

Uma visão algébrica simples (eliminação / graus de liberdade) que complementa a visão geométrica.
  • Temos 3 incógnitas x,y,z e 2 equações lineares independentes no máximo. Ao resolver por eliminação (ou por escalonamento), normalmente sobra pelo menos uma variável livre porque o número de equações é menor que o número de incógnitas. Uma variável livre gera um parâmetro que pode variar continuamente, produzindo uma família infinita de soluções parametrizada por esse parâmetro. Isso corresponde, geometricamente, à reta de interseção entre os planos.
  • Exceção algébrica: se as duas equações são incompatíveis (por exemplo, eliminar gera algo do tipo 0=1), então não há solução — corresponde ao caso de planos paralelos distintos.

Passo 6

Aplicando as condições dos vetores normais com fórmulas explícitas.
  • Condição de proporcionalidade: \mathbf{n}_{1}=\lambda\mathbf{n}_{2} significa
(a_{1},b_{1},c_{1})=\lambda(a_{2},b_{2},c_{2}),
isto é, \dfrac{a_{1}}{a_{2}}=\dfrac{b_{1}}{b_{2}}=\dfrac{c_{1}}{c_{2}}=\lambda (quando os denominadores não são zero, interpretar adequadamente os casos com zeros). Se essa igualdade de razões vale, verificar se também \dfrac{d_{1}}{d_{2}}=\lambda. Se sim → mesmos planos; se não → planos paralelos distintos (sem solução).
  • Se não existe tal \lambda, então os vetores normais não são múltiplos um do outro → planos não paralelos → interseção é uma reta → infinitas soluções.

Passo 7

Parte (b): por que, quando d_{1}=d_{2}=0, o sistema tem necessariamente infinitas soluções.
  • Com d_{1}=d_{2}=0 cada equação tem a forma homogênea
a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=0,\qquad a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=0.
Geom. interpretação: cada plano passa pela origem (0,0,0) (pois \mathbf{r}=\mathbf{0} satisfaz todas as equações). Assim os dois planos são subespaços lineares de dimensão 2 (são planos que contêm a origem).
  • Dois planos que passam pela origem (dois subespaços de dimensão 2 em \mathbb{R}^{3}) sempre se intersectam em pelo menos uma reta. Rigorosamente, usando contagem de dimensões: a soma das dimensões é 2+2=4, mas o espaço ambiente tem dimensão 3, logo a interseção tem dimensão pelo menos 4-3=1. Isso garante que a interseção tem dimensão \ge 1, isto é, contém uma reta inteira — portanto infinitas soluções.
  • Intuição mais básica: como ambos os planos têm o ponto (0,0,0) em comum e não podem ser paralelos distintos (dois planos que passam pela origem não podem estar deslocados), ou são o mesmo plano (infinitas soluções) ou se cruzam formando uma reta passando pela origem (infinitas soluções). Em qualquer caso, há infinitas soluções.

Passo 8

Resumo didático-útil para a prova (passos práticos para identificar o caso rápido).
  • Passo prático 1: calcular se \mathbf{n}_{1} é múltiplo de \mathbf{n}_{2}. Se sim, comparar d_{1} e d_{2} na mesma razão:
    • se d_{1}=\lambda d_{2} → mesmos planos → infinitas soluções;
    • se d_{1}\neq\lambda d_{2} → paralelos distintos → nenhuma solução.
  • Passo prático 2: se \mathbf{n}_{1} não é múltiplo de \mathbf{n}_{2}, concluir imediatamente que a interseção é uma reta → infinitas soluções.
  • Passo prático 3 (caso homogêneo): se d_{1}=d_{2}=0 não é preciso mais nada — sempre infinitas soluções (pelo argumento geométrico ou pelo argumento de dimensões).

Resposta

(a) Porque cada equação representa um plano em \mathbb{R}^{3}; dois planos podem ser paralelos e distintos (nenhuma solução), coincidentes (infinitas soluções) ou, se não forem paralelos, intersectam-se numa reta (infinitas soluções). Não há possibilidade de exatamente uma solução com apenas duas equações em três incógnitas.
(b) Se d_{1}=d_{2}=0 as duas equações são planos que passam pela origem; tais planos ou coincidem ou intersectam-se numa reta que passa pela origem, logo o sistema homogêneo tem sempre infinitas soluções.

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