1. Justifique usando as propriedades aritméticas das séries se cada série abaixo é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado pede: justificar, usando as propriedades aritméticas das séries, se cada série abaixo é convergente ou divergente.
Informações fornecidas pelo enunciado que tenho aqui: nenhuma série foi apresentada. Não há termos, nem fórmulas, nem listas de somas.
Portanto, com o enunciado atual não é possível decidir a convergência de séries concretas porque os objetos a serem analisados não foram fornecidos.

Passo 2

Antes de mais nada — o que significa uma série convergir?
Definição: dada uma sequência (a_n)_{n\ge1}, a série associada é a soma dos termos
\sum_{n=1}^{\infty} a_n.
Chamamos de soma parcial a sequência
S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n.
A série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se, e somente se, existe o limite finito
\lim_{N\to\infty} S_N.
Caso esse limite não exista finitamente, a série diverge. Esse é o conceito básico com o qual todas as propriedades aritméticas trabalham.

Passo 3

Propriedade linear (adição e multiplicação por escalar) — enunciado e demonstração curta:
Sejam duas séries \sum a_n e \sum b_n que convergem, com somas
\sum_{n=1}^{\infty} a_n = A\quad\text{e}\quad\sum_{n=1}^{\infty} b_n = B.
Então, para qualquer \lambda\in\mathbb{R},
\sum_{n=1}^{\infty} (a_n+b_n) \quad\text{converge e soma } A+B,
\sum_{n=1}^{\infty} (\lambda a_n) \quad\text{converge e soma } \lambda A.
Justificativa: denotar S_N^a=\sum_{n=1}^N a_n e S_N^b=\sum_{n=1}^N b_n. Então
\sum_{n=1}^N (a_n+b_n)=S_N^a+S_N^b\to A+B
quando N\to\infty, porque soma de limites existe. Igual para a multiplicação por escalar. Essa é uma ferramenta prática: se soubermos que duas séries simples convergem, podemos somá-las termo a termo.

Passo 4

Consequências e contraexemplos úteis para prova:
  • Se \sum a_n converge e \sum b_n diverge, então \sum (a_n+b_n) diverge (porque se \sum(a_n+b_n) convergisse, subtraindo \sum a_n mostraria que \sum b_n converge — contradição).
  • No entanto, duas séries divergentes podem somar para uma série convergente: por exemplo a_n=1 e b_n=-1 para todo n. Aqui \sum a_n diverge, \sum b_n diverge, mas \sum(a_n+b_n)=\sum 0 converge trivially. Isso mostra que não dá para concluir apenas a partir de divergência de parcelas que a soma diverge — é preciso analisar termos.

Passo 5

Convergência absoluta — definição, por que é forte e como usar:
Definição: \sum a_n é absolutamente convergente se \sum |a_n| converge.
Teorema: se \sum |a_n| converge então \sum a_n converge.
Ideia do porquê (esquema): a soma das absolutas sendo finita implica que as somas parciais de a_n formam uma sequência de Cauchy (pela desigualdade triangular e pela definição de série), logo convergem. Na prática, testar \sum |a_n| é uma via segura: se der convergente, acabou — a série original converge.
Exemplo prático: \sum (-1)^n/n (série harmônica alternada) converge (pelo teste de Leibniz), mas \sum |(-1)^n/n|=\sum 1/n diverge; logo a série converge condicionalmente, não absolutamente.

Passo 6

Comparação direta e comparação limite — como aplicá-las (ferramentas aritméticas para justificar convergência/divergência):
  • Teste da comparação direta: se existem termos não-negativos com 0\le a_n\le b_n e \sum b_n converge, então \sum a_n converge. Útil para reduzir a uma série conhecida (p.ex. p-série, geométrica).
  • Teste da comparação limite: se a_n>0, b_n>0 e
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L\in(0,\infty),
então \sum a_n converge se, e somente se, \sum b_n converge. Serve para comparar comportamentos assintóticos.
Lembretes de séries de referência:
  • Série geométrica: \sum r^n converge se, e somente se, |r|<1, e então soma r/(1-r) (a partir de n=1 com ajuste).
  • p-série: \sum \dfrac{1}{n^p} converge iff p>1.

Passo 7

Teste da razão e do n-ésimo radical (root test) — quando usar:
  • Teste da razão (D’Alembert): calcule L=\limsup_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|. Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 é inconclusivo. Bom para séries com fatoriais ou exponenciais.
  • Teste da raiz: calcule L=\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}. Mesma interpretação que o da razão. Útil para potências.

Passo 8

Séries alternadas — teste de Leibniz:
Se (b_n) é uma sequência positiva, decrescente e b_n\to 0, então a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_n
converge. Além disso, o erro ao truncar depois de N termos tem módulo menor que b_{N+1}. Isso é muito útil para justificar convergência sem recorrer à absoluta.

Passo 9

Produto de séries (produto de Cauchy) — atenção em provas:
Se \sum a_n e \sum b_n são absolutamente convergentes, então o produto de Cauchy
\sum_{n=1}^{\infty} c_n,\qquad c_n=\sum_{k=1}^{n} a_k b_{n+1-k},
converge e sua soma é o produto das somas. Se as séries são somente condicionalmente convergentes, o produto de Cauchy pode se comportar mal (pode divergir). Em listas de exercícios, se o enunciado pede produto de séries, procure primeiro verificar convergência absoluta de cada uma.

Passo 10

Roteiro prático (passo a passo que você deve seguir na prova quando receber uma série concreta):
  1. Identifique a forma do termo geral a_n. Procure formas conhecidas: termo geométrico, potência, racional em n, termo com n!, termo alternado, etc.
  2. Teste rápido: se a_n\not\to0 então a série diverge imediatamente (teste necessário).
  3. Verifique se é geométrica ou p-série; se sim, aplique o critério direto.
  4. Teste de comparação (direta ou limite) com uma série de referência.
  5. Verifique se \sum |a_n| converge (teste de razão/raiz/comparação) para concluir convergência absoluta.
  6. Se for alternada e b_n\to0 decrescente, aplique Leibniz para convergência condicional.
  7. Se for soma de séries simples, use linearidade (somar ou subtrair séries já conhecidas). Atenção: se uma parcela diverge e a outra converge, a soma diverge.
  8. Para produto de séries, primeiro assegure convergência absoluta antes de afirmar que o produto converge.

Passo 11

Exemplos curtos aplicando as ideias (modelo de solução passo a passo que você pode reproduzir na prova):
  • Exemplo A: analisar \sum \dfrac{1}{n^2+1}. Passos: comparar com \sum 1/n^2 (p-série com p=2>1), concluir convergência por comparação direta.
  • Exemplo B: analisar \sum \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}. Passos: verificar que 1/\sqrt{n}\to0 e é decrescente; aplicar teste de Leibniz e concluir convergência condicional. Verificar \sum 1/\sqrt{n} diverge (p-série com p=1/2\le1), então não é absolutamente convergente.
  • Exemplo C: analisar \sum \dfrac{n!}{2^n}. Passos: aplicar teste da razão; \dfrac{(n+1)!/2^{n+1}}{n!/2^n}=\dfrac{n+1}{2}\to\infty>1, logo diverge.

Passo 12

Conclusão final referente ao enunciado que você me enviou: com as informações que tenho aqui não há séries para analisar. Use o roteiro e as propriedades que descrevi assim que tiver as séries concretas — isso permitirá justificar convergência ou divergência de forma direta e organizada na prova. Boa sorte — dá pra resolver quando aparecerem os termos!

Resposta

Não é possível determinar: o enunciado não fornece as séries a serem analisadas.

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