1. Use o teste da razão para determinar se a série é convergente, divergente ou se o teste é inconclusivo.
a) \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{3 n+1}}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da razão para determinar se a série é convergente, divergente ou se o teste é inconclusivo. A série dada é
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{3n+1}}{2^{n}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{\sqrt{3n+1}}{2^{n}}.
  • O enunciado exige explicitamente o uso do teste da razão.

Passo 2

Vou lembrar (e ensinar) o que é o teste da razão (teste de d’Alembert) de forma simples:
  • Seja uma série com termos não-negativos \sum a_n com a_n\ge0.
  • Definimos L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n},se esse limite existir (ou for +\infty).
  • Regras do teste:
    • Se L<1, a série converge (na verdade converge absolutamente).
    • Se L>1 (incluindo L=+\infty), a série diverge.
    • Se L=1, o teste é inconclusivo — precisamos de outro método.
      Explicação curta do porquê: o fator limitante L compara o comportamento assintótico da série com uma série geométrica. Se os termos diminuem aproximadamente como uma razão <1, a soma é finita.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema: defino explicitamente
a_n=\frac{\sqrt{3n+1}}{2^{n}},\qquad n\ge1,
e vou calcular o quociente \dfrac{a_{n+1}}{a_n}.

Passo 4

Calcule o quociente passo a passo:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\sqrt{3(n+1)+1}}{2^{\,n+1}}\cdot\frac{2^{\,n}}{\sqrt{3n+1}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3n+4}}{\sqrt{3n+1}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3n+4}{3n+1}}.

Passo 5

Agora calculo o limite quando n\to\infty. Dentro da raiz, divido numerador e denominador por n:
\frac{3n+4}{3n+1}=\frac{3+\tfrac{4}{n}}{3+\tfrac{1}{n}}\xrightarrow[n\to\infty]{} \frac{3}{3}=1.
Portanto
\sqrt{\frac{3n+4}{3n+1}}\xrightarrow[n\to\infty]{}1.
Logo o limite do quociente é
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.

Passo 6

Interpretação final pelo teste da razão: como L=\dfrac{1}{2}<1, a série converge. Como todos os termos a_n são não-negativos, essa convergência é absoluta.
Força aí — terminou rápido: termos com potência 2^{n} normalmente caem rápido e o teste da razão costuma ser a melhor escolha.

Resposta

Convergente (convergência absoluta)

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