Use o teste da razão para determinar se a série é convergente, divergente ou se o teste é inconclusivo.
a) \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{3 n+1}}{2^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da razão para determinar se a série é convergente, divergente ou se o teste é inconclusivo. A série dada é
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{3n+1}}{2^{n}}.
Informações relevantes fornecidas:
O termo geral é a_n=\dfrac{\sqrt{3n+1}}{2^{n}}.
O enunciado exige explicitamente o uso do teste da razão.
Passo 2
Vou lembrar (e ensinar) o que é o teste da razão (teste de d’Alembert) de forma simples:
Seja uma série com termos não-negativos \sum a_n com a_n\ge0.
DefinimosL=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n},se esse limite existir (ou for +\infty).
Regras do teste:
Se L<1, a série converge (na verdade converge absolutamente).
Se L>1 (incluindo L=+\infty), a série diverge.
Se L=1, o teste é inconclusivo — precisamos de outro método.
Explicação curta do porquê: o fator limitante L compara o comportamento assintótico da série com uma série geométrica. Se os termos diminuem aproximadamente como uma razão <1, a soma é finita.
Passo 3
Aplicando ao nosso problema: defino explicitamente
Interpretação final pelo teste da razão: como L=\dfrac{1}{2}<1, a série converge. Como todos os termos a_n são não-negativos, essa convergência é absoluta.
Força aí — terminou rápido: termos com potência 2^{n} normalmente caem rápido e o teste da razão costuma ser a melhor escolha.