1. Aplicando o teste básico de comparação, determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado pede: “Aplicando o teste básico de comparação, determine se a série converge ou diverge.”
Informações fornecidas: nenhuma série foi dada no enunciado.
Conclusão deste passo: não há como aplicar o teste de comparação a uma série específica porque a série a ser analisada não foi informada.

Passo 2

Como não foi fornecida a série, não posso dar uma resposta específica. Vou então ensinar, passo a passo e de forma bem didática, como aplicar o teste de comparação (os dois tipos: comparação direta e comparação por limite). Assim você sabe exatamente o que fazer na prova quando tiver a série em mãos. Vou explicar as ideias principais, dar um algoritmo prático e resolver dois exemplos completos para você treinar.

Passo 3

Uma série é uma soma infinita de termos a_n: \sum_{n=1}^{\infty} a_n.
O teste de comparação clássico exige que os termos sejam não negativos a partir de algum N: isto é, existe N tal que a_n\ge 0 para todo n\ge N. Por que isso importa? Porque as comparações por desigualdade ou por limite comparam tamanhos (módulos) e a noção de “maior/menor” que garante monotonicidade de somas funciona bem quando os termos são não negativos. Se os termos mudam de sinal, há outros testes (ex.: critério da série alternante, teste de Abel, ou analisar convergência absoluta).

Passo 4

Enunciado do teste (forma padrão):
  • Se existem duas sequências de termos não negativos (a_n) e (b_n) tais que, para todo n suficientemente grande, 0 \le a_n \le b_n,
    e se \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.
  • Se, para todo n suficientemente grande, 0 \le b_n \le a_n,
    e se \sum b_n diverge, então \sum a_n também diverge.
O que cada símbolo significa:
  • a_n,b_n são os termos das séries que estamos comparando.
  • A desigualdade a_n\le b_n significa que b_n é um “majorante” de a_n.
  • Convergência/divergência de \sum b_n transfere para \sum a_n conforme as regras acima.
Dica prática: para provar convergência com comparação direta, encontre uma série maior e conhecida que converge (por exemplo uma p-série com p>1 ou uma geométrica com razão |r|<1) e mostre a_n\le b_n. Para provar divergência com comparação direta, encontre uma série menor que diverge.

Passo 5

Enunciado do teste por limite:
  • Se a_n>0 e b_n>0 para todo n grande e existe o limite L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n},com 0<L<\infty, então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.
Interpretação e uso:
  • Se o limite L é um número positivo finito, então a_n é assintoticamente equivalente a b_n. Logo qualquer conclusão para \sum b_n vale para \sum a_n.
  • Se L=0 e \sum b_n converge, então \sum a_n converge também (porque a_n é muito menor que b_n). Mas se L=0 e \sum b_n diverge, não se conclui nada.
  • Se L=+\infty e \sum b_n diverge, então \sum a_n diverge. Se L=+\infty e \sum b_n converger, nada se conclui.

Passo 6

Séries frequentemente usadas como comparadores e por que:
  • p-série: \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}. Converge se p>1 e diverge se p\le 1. Muito útil quando termos têm potências de n.
  • série geométrica: \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} ar^{n}. Converge se |r|<1 e diverge se |r|\ge1. Útil quando termos têm fator exponencial ou forma c^n.
  • para fatores envolvendo n! ou a^n com a>1, geralmente essas crescem muito e dominam polinômios.
    Regra prática para escolher b_n: identifique o comportamento dominante de a_n quando n\to\infty (maiores potências de n, exponenciais, fatoriais) e compare com a série mais simples que tem esse comportamento dominante.

Passo 7

  1. Verifique se os termos a_n são não negativos eventualemente; se não forem, considere |a_n| para testar convergência absoluta ou use outro teste adequado.
  2. Simplifique a_n para identificar seu termo dominante quando n\to\infty.
  3. Escolha uma série comparadora \sum b_n coerente com esse comportamento (p-série, geométrica, etc.).
  4. Tente primeiro a comparação por limite: calcule \lim_{n\to\infty} a_n/b_n.
    • Se o limite é L\in(0,\infty), conclua.
    • Se o limite é 0 ou +\infty, avalie as consequências ou mude para comparação direta.
  5. Se a comparação por limite não for conclusiva, tente estabelecer uma desigualdade direta a_n\le C\cdot b_n ou a_n\ge C\cdot b_n para n grande e use o teste direto.
  6. Escreva claramente qual série comparadora foi usada e por que ela é conhecida (citar p-série ou geométrica e o valor de p ou r).

Passo 8

Exemplo: determinar se \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n^{3}+2} converge ou diverge.
  1. Verificar sinal: para todo n\ge 1, a_n=\dfrac{n+1}{n^{3}+2}>0. OK para aplicar comparação.
  2. Identificar comportamento dominante: numerador n+1\sim n, denominador n^{3}+2\sim n^{3}. Então a_n se comporta como \dfrac{n}{n^{3}}=\dfrac{1}{n^{2}}.
  3. Escolher comparadora: p-série \displaystyle b_n=\frac{1}{n^{2}} (sabe-se que converge porque p=2>1).
  4. Usar comparação por limite: \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n+1}{n^{3}+2}}{\dfrac{1}{n^{2}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)n^{2}}{n^{3}+2}.Vamos simplificar: expanda o numerador e denomine por n^{3}: \frac{(n+1)n^{2}}{n^{3}+2}=\frac{n^{3}+n^{2}}{n^{3}+2} =\frac{1+\tfrac{1}{n}}{1+\tfrac{2}{n^{3}}}.Agora faça o limite n\to\infty: \lim_{n\to\infty}\frac{1+\tfrac{1}{n}}{1+\tfrac{2}{n^{3}}}= \frac{1+0}{1+0}=1.O limite é L=1\in(0,\infty).
  5. Conclusão pelo teste da comparação por limite: como \sum b_n=\sum 1/n^{2} converge e o limite é positivo finito, \sum a_n converge também.

Passo 9

Exemplo: determinar se \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}+1} converge ou diverge.
  1. Sinal: a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}+1}>0 para todo n\ge1.
  2. Comportamento dominante: para grandes n, \sqrt{n}+1 tem comportamento equivalente a \sqrt{n}, então a_n se comporta como 1/\sqrt{n}=n^{-1/2}.
  3. Escolher comparadora: p-série \displaystyle b_n=\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{1}{n^{1/2}}. Sabe-se que \sum b_n diverge porque p=1/2\le 1.
  4. Usar comparação direta por desigualdade (mais simples aqui):
    Para n\ge 1 temos \sqrt{n}\ge 1, então \sqrt{n}+1 \le 2\sqrt{n}. Portanto \frac{1}{\sqrt{n}+1} \ge \frac{1}{2\sqrt{n}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n^{1/2}}.Assim, para todo n\ge1, a_n \ge \frac{1}{2}b_n.Como \sum b_n diverge, pelo teste de comparação direta (com uma constante multiplicativa não nula) \sum a_n também diverge.
  5. Conclusão: a série diverge.

Passo 10

  • Não use o teste de comparação com termos que mudam de sinal sem primeiro separar o problema (p.ex. testar \sum |a_n| para convergência absoluta).
  • Ao usar desigualdades diretas, certifique-se de que valem para todo n suficientemente grande; você pode ignorar um número finito de termos iniciais.
  • Ao escolher comparadora, foque no termo dominante para n\to\infty: comparações com o termo mais alto em polinômios, ou com exponenciais/fatoriais quando aparecem.
  • A comparação por limite costuma ser a mais direta: calcule \lim a_n/b_n. Se der um número em (0,\infty), está resolvido.
  • Se \lim a_n/b_n=0, isso só garante convergência de \sum a_n se \sum b_n convergir; não conclui caso contrário.
  • Nunca conclua divergência só porque \lim a_n = 0; a condição \lim a_n\neq 0 implica divergência, mas \lim a_n=0 não implica convergência.

Passo 11

Se você tiver uma série concreta (a que o seu enunciado 7 se refere), mande-a quando quiser que eu resolva passo a passo usando exatamente os mesmos cuidados e detalhe que usei nestes exemplos. Tá indo bem — com esses passos você vai saber escolher a comparação certa na prova. Força aí!

Resposta

Não é possível determinar a convergência ou divergência porque o enunciado não forneceu a série a ser analisada.

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