Se k é um inteiro positivo, mostre que \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{k^{n}}=0.

Passo 1

O enunciado dá que k é um inteiro positivo e pede para mostrar o valor do limite
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{k^{n}}.
Informações relevantes:
  • k é inteiro e k\ge 1 (pois é positivo).
  • A sequência em questão é a_n=\dfrac{1}{k^n} para n=1,2,3,\dots.
    O que será tratado a seguir: separar os casos k=1 e k\ge 2, porque eles se comportam de forma diferente.

Passo 2

Caso k=1. Então para todo n tem-se
\frac{1}{k^n}=\frac{1}{1^n}=1.
Uma sequência constante igual a 1 tem limite 1. Logo, quando k=1,
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{k^n}=1.

Passo 3

Agora consideramos o caso k\ge 2. Observe que então
0<\frac{1}{k}\le\frac{1}{2}<1.
Daí, para todo n\ge 1 vale
0\le \frac{1}{k^n}\le \frac{1}{2^n}.
Portanto, se mostrarmos que \dfrac{1}{2^n}\to 0 quando n\to\infty, pela desigualdade e pelo Teorema do Confronto (squeeze) teremos \dfrac{1}{k^n}\to 0.

Passo 4

Mostramos que \dfrac{1}{2^n}\to 0. Uma maneira simples é comparar 2^n com n+1. Prova por indução de que para todo n\ge 0
2^n \ge n+1.
Base n=0: 2^0=1\ge 0+1=1. Suponha verdadeiro para n, isto é 2^n\ge n+1. Então
2^{n+1}=2\cdot 2^n \ge 2(n+1)=2n+2 \ge n+2,
pois 2n+2 \ge n+2 para todo n\ge 0. Assim a propriedade vale para n+1 e, por indução, para todo n.

Passo 5

Da desigualdade 2^n\ge n+1 obtemos
0\le\frac{1}{2^n}\le\frac{1}{n+1}.
Sabemos que \dfrac{1}{n+1}\to 0 quando n\to\infty (por exemplo, dado \varepsilon>0 basta escolher N>\dfrac{1}{\varepsilon}-1 para garantir 1/(N+1)<\varepsilon). Pelo Teorema do Confronto, como 0\le\frac{1}{2^n}\le\frac{1}{n+1} e o lado direito tende a 0, segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=0.

Passo 6

Voltando ao caso k\ge 2, já tínhamos 0\le \dfrac{1}{k^n}\le \dfrac{1}{2^n} para todo n. Como \dfrac{1}{2^n}\to 0, pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{k^n}=0 \qquad\text{para todo inteiro }k\ge 2.

Passo 7

Conclusão final, reunindo os casos. Se k=1 a sequência é constante igual a 1 e o limite é 1. Se k\ge 2 a sequência é positiva e dominada por \dfrac{1}{2^n}, que tende a 0; portanto o limite é 0. Força nos estudos — a ideia chave é que potências de inteiros maiores que 1 crescem muito rápido, fazendo suas inversas irem para zero.

Resposta

Se k=1 então \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{k^n}=1.
Se k\ge 2 então \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{k^n}=0.

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