Se
é um inteiro positivo, mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá que
é um inteiro positivo e pede para mostrar o valor do limite
Informações relevantes:
-
é inteiro e (pois é positivo). - A sequência em questão é
para .
O que será tratado a seguir: separar os casose , porque eles se comportam de forma diferente.
Passo 2
Caso
. Então para todo
tem-se
Uma sequência constante igual a
tem limite
. Logo, quando
,
Passo 3
Agora consideramos o caso
. Observe que então
Daí, para todo
vale
Portanto, se mostrarmos que
quando
, pela desigualdade e pelo Teorema do Confronto (squeeze) teremos
.
Passo 4
Mostramos que
. Uma maneira simples é comparar
com
. Prova por indução de que para todo
Base
:
. Suponha verdadeiro para
, isto é
. Então
pois
para todo
. Assim a propriedade vale para
e, por indução, para todo
.
Passo 5
Da desigualdade
obtemos
Sabemos que
quando
(por exemplo, dado
basta escolher
para garantir
). Pelo Teorema do Confronto, como
e o lado direito tende a
, segue que
Passo 6
Voltando ao caso
, já tínhamos
para todo
. Como
, pelo Teorema do Confronto segue que
Passo 7
Conclusão final, reunindo os casos. Se
a sequência é constante igual a
e o limite é
. Se
a sequência é positiva e dominada por
, que tende a
; portanto o limite é
. Força nos estudos — a ideia chave é que potências de inteiros maiores que
crescem muito rápido, fazendo suas inversas irem para zero.
Resposta
Se
então
.
Se então
.
Se