Uma bola de massa
e outra de massa
inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal comprimem uma mola (de massa desprezível). Ao serem liberadas, a bola mais leve adquire uma velocidade
. Despreze atritos.
(a) Defina o sistema de partículas e identifique as forças internas e externas que agem sobre este. (0,3 pontos)
(b) Com base nessa análise de forças, o momentum linear total do sistema é conservado? Justifique-se. (0,2 pontos)
(c) Determine a velocidade final
da bola 1. (
pontos)
(d) Calcule momentum linear e energia cinética de cada bola e do sistema, antes e depois da liberação da mola. De onde veio essa energia cinética? (
pontos)
(e) Calcule o impulso exercido pela força elástica sobre cada bola. (
pontos)
(f) Qual é a velocidade do centro de massa antes e após a liberação da mola. O que acontece com a posição do centro de massa do sistema? (0,3 pontos)
(a) Defina o sistema de partículas e identifique as forças internas e externas que agem sobre este. (0,3 pontos)
(b) Com base nessa análise de forças, o momentum linear total do sistema é conservado? Justifique-se. (0,2 pontos)
(c) Determine a velocidade final
(d) Calcule momentum linear e energia cinética de cada bola e do sistema, antes e depois da liberação da mola. De onde veio essa energia cinética? (
(e) Calcule o impulso exercido pela força elástica sobre cada bola. (
(f) Qual é a velocidade do centro de massa antes e após a liberação da mola. O que acontece com a posição do centro de massa do sistema? (0,3 pontos)
Passo 1
O enunciado dá duas bolas e pede várias coisas. Vou listar tudo com clareza, sem começar a resolver ainda.
Dados fornecidos:
ambas inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal, a mola (massa desprezível) está comprimida entre elas e, ao liberar, a bola mais leve adquire
Desprezamos atrito.
Perguntas do enunciado:
(a) Definir o sistema de partículas e identificar forças internas e externas que atuam sobre ele.
(b) Com base nas forças, o momentum linear total do sistema é conservado? Justifique.
(c) Determinar a velocidade final da bola 1.
(d) Calcular o momentum linear e a energia cinética de cada bola e do sistema, antes e depois da liberação. De onde veio a energia cinética?
(e) Calcular o impulso exercido pela força elástica sobre cada bola.
(f) Velocidade do centro de massa antes e depois; o que acontece com a posição do centro de massa?
(a) Definir o sistema de partículas e identificar forças internas e externas que atuam sobre ele.
(b) Com base nas forças, o momentum linear total do sistema é conservado? Justifique.
(c) Determinar a velocidade final
(d) Calcular o momentum linear e a energia cinética de cada bola e do sistema, antes e depois da liberação. De onde veio a energia cinética?
(e) Calcular o impulso exercido pela força elástica sobre cada bola.
(f) Velocidade do centro de massa antes e depois; o que acontece com a posição do centro de massa?
Passo 2
(a) Definição do sistema e identificação das forças — explicando o que é “interna” e “externa”.
Definição do sistema:
Escolhemos como sistema as duas bolas (e a mola entre elas). A mola tem massa desprezível, então podemos tratá‑la como fonte de forças internas entre as bolas; se preferir, pode-se dizer “sistema = bolas + mola (massa desprezível)”, o resultado físico é o mesmo.
Escolhemos como sistema as duas bolas (e a mola entre elas). A mola tem massa desprezível, então podemos tratá‑la como fonte de forças internas entre as bolas; se preferir, pode-se dizer “sistema = bolas + mola (massa desprezível)”, o resultado físico é o mesmo.
O que são forças internas e externas?
- Forças internas são aquelas que as partes do sistema exercem entre si (por exemplo, a mola empurra/puxa as bolas). Essas forças sempre obedecem à terceira lei de Newton (ação = reação).
- Forças externas são as forças que vêm de elementos fora do sistema (por exemplo, peso, reação da superfície, atrito se houvesse).
Identificação concreta das forças:
- Forças internas: a força elástica da mola que a bola 1 exerce sobre a bola 2 e a força elástica oposta que a bola 2 exerce sobre a bola 1. Vou denotar essas forças como
e . - Forças externas: o peso de cada bola
e (vertical para baixo) e as normais da superfície e (vertical para cima). O enunciado diz “despreze atritos”, então não há força de atrito horizontal externa.
Observação importante: as forças peso e normal são externas, mas atuam verticalmente; a força elástica é interna e atua horizontalmente (empurrando as bolas em direções opostas).
Passo 3
(b) Conservação do momentum linear total — justificativa.
Regra geral: o momentum linear total do sistema varia no tempo segundo a soma das forças externas aplicadas ao sistema:
Aqui
é o vetor momentum total.
No nosso caso:
- As únicas forças externas não desprezáveis são peso e normal, ambas verticais. Não há atrito (força externa horizontal nula).
- Portanto, a soma das forças externas na direção horizontal vale zero.
- Como a separação e os movimentos relevantes acontecem horizontalmente (a mola empurra as bolas horizontalmente), a componente horizontal do momentum total se conserva.
Conclusão: o momentum linear total do sistema (considerando a direção horizontal relevante) é conservado, porque a soma das forças externas horizontais é zero. Em termos simples: as forças elásticas são internas e, sendo pares ação‑reação, não alteram o momentum total do sistema.
Passo 4
(c) Determinar
usando conservação do momentum — passo a passo.
Escrevemos a conservação do momentum na direção horizontal. Inicialmente ambas as bolas estão em repouso, então o momentum total inicial é zero:
Depois da liberação, os momenta das bolas são
e
. Pela conservação:
Isolando
:
Agora substituímos os valores numéricos:
Interpretação do sinal: o sinal negativo indica que a bola 1 se move na direção oposta à bola 2. Em módulo, a velocidade é
.
Passo 5
(d) Momentum linear e energia cinética de cada bola e do sistema, antes e depois — com explicações didáticas.
Primeiro, definições e fórmulas usadas:
- Momentum linear de uma partícula:
. Aqui trabalhamos em 1D horizontal, então usaremos escalares com sinal. - Energia cinética de uma partícula:
. - Energia cinética total do sistema é soma das energias cinéticas individuais.
Valores antes da liberação:
- Ambas as bolas em repouso, então
Energia cinética total inicial:
Valores depois da liberação (usando
e
):
Momentum de cada bola:
Momentum total final:
confirmando conservação do momentum.
Energia cinética de cada bola:
Energia cinética total final:
De onde veio essa energia cinética?
- Inicialmente havia energia potencial elástica armazenada na mola comprimida. Como desprezamos atrito e não há troca de energia com o ambiente (normais e pesos apenas trocam forças verticais e não realizam trabalho horizontal relevante), a energia potencial elástica transformou‑se em energia cinética das bolas.
- Numericamente, a energia potencial elástica inicial que foi convertida corresponde ao
(assumindo que toda a energia armazenada foi cedida às bolas).
Passo 6
Observações adicionais didáticas sobre energia e momentum (úteis para a prova).
- Conservação do momentum não implica conservação da energia cinética. Aqui o momentum total permaneceu zero, mas a energia cinética do sistema aumentou de zero para
porque uma fonte interna (mola) fez trabalho sobre as partículas, convertendo energia potencial elástica em energia cinética. Isso é um ponto frequente em provas: forças internas (que não trocam energia com ambiente) podem redistribuir energia entre as partes e converter energia potencial interna em cinética, sem violar conservação do momentum. - A terceira lei de Newton garante que os impulsos fornecidos pela mola às duas bolas são opostos e de mesma magnitude.
Passo 7
(e) Cálculo do impulso exercido pela força elástica sobre cada bola — conceito e números.
Definição: impulso
é a variação do momentum:
Para a bola 1:
Para a bola 2:
Interpretação: a mola deu um impulso de
à bola 2 (num sentido que tomamos como positivo) e um impulso de
à bola 1 — impulsos iguais em módulo e opostos em sentido, conforme a terceira lei de Newton.
Passo 8
(f) Velocidade do centro de massa antes e depois; comportamento da posição do centro de massa.
Fórmula da velocidade do centro de massa (CM):
Antes da liberação:
-
.
Depois da liberação:
-
.
Conclusão: a velocidade do centro de massa antes e depois é nula (
). Como não há força externa horizontal resultante, o centro de massa não sofre aceleração horizontal; portanto, a posição do centro de massa permanece fixa no tempo (ou seja, não se desloca horizontalmente). Em palavras: a mola internalmente empurra as bolas em sentidos opostos, mas o centro de massa do sistema permanece no mesmo lugar (estático) porque não houve força externa horizontal para deslocá‑lo.
Resposta
(a) Sistema: as duas bolas (mola de massa desprezível incluída como elemento interno). Forças internas: forças elásticas entre as bolas (pares ação‑reação). Forças externas: peso de cada bola
(para baixo) e normais da superfície
(para cima). Não há atrito.\n
(b) Sim. O momentum linear total na direção horizontal é conservado porque a soma das forças externas horizontais é zero (as forças externas presentes são verticais).\n
(c) (ou módulo
, sentido oposto a
).\n
(d) Antes: Depois:
A energia cinética veio da energia potencial elástica armazenada na mola (convertida em cinética das bolas).\n
(e) Impulsos: (iguais em módulo e opostos em sentido).\n
(f) Velocidade do CM antes: . Velocidade do CM depois:
. A posição do centro de massa permanece fixa (não se desloca horizontalmente) porque não houve força externa horizontal resultante.
(b) Sim. O momentum linear total na direção horizontal é conservado porque a soma das forças externas horizontais é zero (as forças externas presentes são verticais).\n
(c)
(d) Antes:
(e) Impulsos:
(f) Velocidade do CM antes: