Uma bola de massa m_{1}=6,0 \mathrm{~kg} e outra de massa m_{2}=2,0 \mathrm{~kg} inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal comprimem uma mola (de massa desprezível). Ao serem liberadas, a bola mais leve adquire uma velocidade v_{2}^{\prime}=3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Despreze atritos.
(a) Defina o sistema de partículas e identifique as forças internas e externas que agem sobre este. (0,3 pontos)
(b) Com base nessa análise de forças, o momentum linear total do sistema é conservado? Justifique-se. (0,2 pontos)
(c) Determine a velocidade final v_{1}^{\prime} da bola 1. ( \mathbf{0 , 6} pontos)
(d) Calcule momentum linear e energia cinética de cada bola e do sistema, antes e depois da liberação da mola. De onde veio essa energia cinética? ( \mathbf{0 , 8} pontos)
(e) Calcule o impulso exercido pela força elástica sobre cada bola. ( \mathbf{0 , 3} pontos)
(f) Qual é a velocidade do centro de massa antes e após a liberação da mola. O que acontece com a posição do centro de massa do sistema? (0,3 pontos)

Passo 1

O enunciado dá duas bolas e pede várias coisas. Vou listar tudo com clareza, sem começar a resolver ainda.
Dados fornecidos:
m_{1}=6{,}0\\ \text{kg},\qquad m_{2}=2{,}0\\ \text{kg},
ambas inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal, a mola (massa desprezível) está comprimida entre elas e, ao liberar, a bola mais leve adquire
v_{2}^{\prime}=3{,}0\\ \text{m/s}.
Desprezamos atrito.
Perguntas do enunciado:
(a) Definir o sistema de partículas e identificar forças internas e externas que atuam sobre ele.
(b) Com base nas forças, o momentum linear total do sistema é conservado? Justifique.
(c) Determinar a velocidade final v_{1}^{\prime} da bola 1.
(d) Calcular o momentum linear e a energia cinética de cada bola e do sistema, antes e depois da liberação. De onde veio a energia cinética?
(e) Calcular o impulso exercido pela força elástica sobre cada bola.
(f) Velocidade do centro de massa antes e depois; o que acontece com a posição do centro de massa?

Passo 2

(a) Definição do sistema e identificação das forças — explicando o que é “interna” e “externa”.
Definição do sistema:
Escolhemos como sistema as duas bolas (e a mola entre elas). A mola tem massa desprezível, então podemos tratá‑la como fonte de forças internas entre as bolas; se preferir, pode-se dizer “sistema = bolas + mola (massa desprezível)”, o resultado físico é o mesmo.
O que são forças internas e externas?
  • Forças internas são aquelas que as partes do sistema exercem entre si (por exemplo, a mola empurra/puxa as bolas). Essas forças sempre obedecem à terceira lei de Newton (ação = reação).
  • Forças externas são as forças que vêm de elementos fora do sistema (por exemplo, peso, reação da superfície, atrito se houvesse).
Identificação concreta das forças:
  • Forças internas: a força elástica da mola que a bola 1 exerce sobre a bola 2 e a força elástica oposta que a bola 2 exerce sobre a bola 1. Vou denotar essas forças como F_{\text{el},\,12} e F_{\text{el},\,21}=-F_{\text{el},\,12}.
  • Forças externas: o peso de cada bola m_1 g e m_2 g (vertical para baixo) e as normais da superfície N_1 e N_2 (vertical para cima). O enunciado diz “despreze atritos”, então não há força de atrito horizontal externa.
Observação importante: as forças peso e normal são externas, mas atuam verticalmente; a força elástica é interna e atua horizontalmente (empurrando as bolas em direções opostas).

Passo 3

(b) Conservação do momentum linear total — justificativa.
Regra geral: o momentum linear total do sistema varia no tempo segundo a soma das forças externas aplicadas ao sistema:
\frac{d\mathbf{P}_{\text{total}}}{dt}=\sum \mathbf{F}_{\text{externas}}.
Aqui \mathbf{P}_{\text{total}} é o vetor momentum total.
No nosso caso:
  • As únicas forças externas não desprezáveis são peso e normal, ambas verticais. Não há atrito (força externa horizontal nula).
  • Portanto, a soma das forças externas na direção horizontal vale zero.
  • Como a separação e os movimentos relevantes acontecem horizontalmente (a mola empurra as bolas horizontalmente), a componente horizontal do momentum total se conserva.
Conclusão: o momentum linear total do sistema (considerando a direção horizontal relevante) é conservado, porque a soma das forças externas horizontais é zero. Em termos simples: as forças elásticas são internas e, sendo pares ação‑reação, não alteram o momentum total do sistema.

Passo 4

(c) Determinar v_{1}^{\prime} usando conservação do momentum — passo a passo.
Escrevemos a conservação do momentum na direção horizontal. Inicialmente ambas as bolas estão em repouso, então o momentum total inicial é zero:
P_{\text{inicial}} = m_{1}\cdot 0 + m_{2}\cdot 0 = 0.
Depois da liberação, os momenta das bolas são m_{1}v_{1}^{\prime} e m_{2}v_{2}^{\prime}. Pela conservação:
m_{1}v_{1}^{\prime}+m_{2}v_{2}^{\prime}=0.
Isolando v_{1}^{\prime}:
v_{1}^{\prime}=-\frac{m_{2}}{m_{1}}\,v_{2}^{\prime}.
Agora substituímos os valores numéricos:
v_{1}^{\prime}=-\frac{2{,}0}{6{,}0}\cdot 3{,}0 = -1{,}0\\ \text{m/s}.
Interpretação do sinal: o sinal negativo indica que a bola 1 se move na direção oposta à bola 2. Em módulo, a velocidade é 1{,}0\\ \text{m/s}.

Passo 5

(d) Momentum linear e energia cinética de cada bola e do sistema, antes e depois — com explicações didáticas.
Primeiro, definições e fórmulas usadas:
  • Momentum linear de uma partícula: \mathbf{p}=m\mathbf{v}. Aqui trabalhamos em 1D horizontal, então usaremos escalares com sinal.
  • Energia cinética de uma partícula: K=\tfrac{1}{2}m v^{2}.
  • Energia cinética total do sistema é soma das energias cinéticas individuais.
Valores antes da liberação:
  • Ambas as bolas em repouso, então
p_{1,\text{in}}=m_{1}\cdot 0=0,\qquad p_{2,\text{in}}=m_{2}\cdot 0=0,
K_{1,\text{in}}=\tfrac{1}{2}m_{1}\cdot 0^{2}=0,\qquad K_{2,\text{in}}=\tfrac{1}{2}m_{2}\cdot 0^{2}=0.
Energia cinética total inicial:
K_{\text{total,in}}=0+0=0.
Valores depois da liberação (usando v_{1}^{\prime}=-1{,}0\\ \text{m/s} e v_{2}^{\prime}=3{,}0\\ \text{m/s}):
Momentum de cada bola:
p_{1,\text{fim}}=m_{1}v_{1}^{\prime}=6{,}0\cdot(-1{,}0)=-6{,}0\\ \text{kg·m/s},
p_{2,\text{fim}}=m_{2}v_{2}^{\prime}=2{,}0\cdot 3{,}0=6{,}0\\ \text{kg·m/s}.
Momentum total final:
P_{\text{total,fim}}=p_{1,\text{fim}}+p_{2,\text{fim}}=-6{,}0+6{,}0=0,
confirmando conservação do momentum.
Energia cinética de cada bola:
K_{1,\text{fim}}=\tfrac{1}{2}m_{1}(v_{1}^{\prime})^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 6{,}0\cdot(1{,}0)^{2}=3{,}0\\ \text{J},
K_{2,\text{fim}}=\tfrac{1}{2}m_{2}(v_{2}^{\prime})^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\cdot(3{,}0)^{2}=9{,}0\\ \text{J}.
Energia cinética total final:
K_{\text{total,fim}}=3{,}0+9{,}0=12{,}0\\ \text{J}.
De onde veio essa energia cinética?
  • Inicialmente havia energia potencial elástica armazenada na mola comprimida. Como desprezamos atrito e não há troca de energia com o ambiente (normais e pesos apenas trocam forças verticais e não realizam trabalho horizontal relevante), a energia potencial elástica transformou‑se em energia cinética das bolas.
  • Numericamente, a energia potencial elástica inicial que foi convertida corresponde ao K_{\text{total,fim}}=12{,}0\\ \text{J} (assumindo que toda a energia armazenada foi cedida às bolas).

Passo 6

Observações adicionais didáticas sobre energia e momentum (úteis para a prova).
  • Conservação do momentum não implica conservação da energia cinética. Aqui o momentum total permaneceu zero, mas a energia cinética do sistema aumentou de zero para 12{,}0\\ \text{J} porque uma fonte interna (mola) fez trabalho sobre as partículas, convertendo energia potencial elástica em energia cinética. Isso é um ponto frequente em provas: forças internas (que não trocam energia com ambiente) podem redistribuir energia entre as partes e converter energia potencial interna em cinética, sem violar conservação do momentum.
  • A terceira lei de Newton garante que os impulsos fornecidos pela mola às duas bolas são opostos e de mesma magnitude.

Passo 7

(e) Cálculo do impulso exercido pela força elástica sobre cada bola — conceito e números.
Definição: impulso \mathbf{J} é a variação do momentum:
\mathbf{J}=\Delta \mathbf{p} = \mathbf{p}_{\text{fim}}-\mathbf{p}_{\text{in}}.
Para a bola 1:
J_{1}=p_{1,\text{fim}}-p_{1,\text{in}}=-6{,}0-0=-6{,}0\\ \text{N·s}.
Para a bola 2:
J_{2}=p_{2,\text{fim}}-p_{2,\text{in}}=6{,}0-0=6{,}0\\ \text{N·s}.
Interpretação: a mola deu um impulso de +6{,}0\\ \text{N·s} à bola 2 (num sentido que tomamos como positivo) e um impulso de -6{,}0\\ \text{N·s} à bola 1 — impulsos iguais em módulo e opostos em sentido, conforme a terceira lei de Newton.

Passo 8

(f) Velocidade do centro de massa antes e depois; comportamento da posição do centro de massa.
Fórmula da velocidade do centro de massa (CM):
\mathbf{v}_{\text{CM}}=\frac{\mathbf{P}_{\text{total}}}{M_{\text{total}}},\qquad M_{\text{total}}=m_{1}+m_{2}.
Antes da liberação:
  • P_{\text{total,in}}=0\Rightarrow v_{\text{CM,in}}=0.
Depois da liberação:
  • P_{\text{total,fim}}=0\Rightarrow v_{\text{CM,fim}}=0.
Conclusão: a velocidade do centro de massa antes e depois é nula ( 0). Como não há força externa horizontal resultante, o centro de massa não sofre aceleração horizontal; portanto, a posição do centro de massa permanece fixa no tempo (ou seja, não se desloca horizontalmente). Em palavras: a mola internalmente empurra as bolas em sentidos opostos, mas o centro de massa do sistema permanece no mesmo lugar (estático) porque não houve força externa horizontal para deslocá‑lo.

Resposta

(a) Sistema: as duas bolas (mola de massa desprezível incluída como elemento interno). Forças internas: forças elásticas entre as bolas (pares ação‑reação). Forças externas: peso de cada bola m_{1}g,\\ m_{2}g (para baixo) e normais da superfície N_{1},\\ N_{2} (para cima). Não há atrito.\n
(b) Sim. O momentum linear total na direção horizontal é conservado porque a soma das forças externas horizontais é zero (as forças externas presentes são verticais).\n
(c) v_{1}^{\prime}=-1{,}0\\ \text{m/s} (ou módulo 1{,}0\\ \text{m/s}, sentido oposto a v_{2}^{\prime}).\n
(d) Antes: p_{1}=0,\\ p_{2}=0,\\ P_{\text{total}}=0;\\ K_{1}=0,\\ K_{2}=0,\\ K_{\text{total}}=0. Depois: p_{1}=-6{,}0\\ \text{kg·m/s},\\ p_{2}=6{,}0\\ \text{kg·m/s},\\ P_{\text{total}}=0;\\ K_{1}=3{,}0\\ \text{J},\\ K_{2}=9{,}0\\ \text{J},\\ K_{\text{total}}=12{,}0\\ \text{J}. A energia cinética veio da energia potencial elástica armazenada na mola (convertida em cinética das bolas).\n
(e) Impulsos: J_{1}=\Delta p_{1}=-6{,}0\\ \text{N·s},\\ J_{2}=\Delta p_{2}=6{,}0\\ \text{N·s} (iguais em módulo e opostos em sentido).\n
(f) Velocidade do CM antes: v_{\text{CM,in}}=0. Velocidade do CM depois: v_{\text{CM,fim}}=0. A posição do centro de massa permanece fixa (não se desloca horizontalmente) porque não houve força externa horizontal resultante.

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