A Katahdin Paper Company, de Millinocket, no estado de Maine, opera uma usina hidroelétrica no rio Penobscot. A água é bombeada de uma represa para a usina geradora de potência. A taxa pela qual a água flui nas tubulações varia, dependendo de condições externas. A usina geradora de potência tem três turbinas hidroelétricas diferentes; para cada uma delas, é conhecida a quantidade da potência elétrica gerada em função do fluxo de água que chega à turbina (função de potência da turbina). A água que chega pode ser distribuída em quantidades diferentes entre as turbinas, e nosso objetivo é determinar como programar essa distribuição de água para obter máxima produção de energia total para qualquer vazão. Usando dados experimentais e a equação de Bernoulli, chegou-se ao modelo quadrático mostrado para a saída de potência de cada turbina, com as seguintes vazões de operação permitidas:
K W1= & (-18,89+0,1277 Q1 & -4,08 cdot 10^-5 Q1^2)(170-1,6 cdot 10^-6 QT^2) K W2= & (-24,51+0,1358 Q2 & -4,69 cdot 10^-5 Q2^2)(170-1,6 cdot 10^-6 QT^2) K W3= & (-27,02+0,1380 Q3 & -3,84 cdot 10^-5 Q3^2)(170-1,6 cdot 10^-6 QT^2)
250 <= Q1 <= 1110
250 <= Q2 <= 1110
250 <= Q3 <= 1225
onde
Qi= fluxo pela turbina i em pés cúbicos por segundo;
K Wi= potência gerada pela turbina i em quilowatts;
QT= fluxo total pela turbina em pés cúbicos por segundo.
Se todas as três turbinas estiverem sendo usadas, queremos determinar o fluxo Qi em cada turbina que resultará na produção total máxima de energia. Nossas limitações são que o fluxo total precisa ser igual ao fluxo que chega à usina e que para cada turbina o fluxo esteja na faixa permitida. Consequentemente, utilize os multiplicadores de Lagrange para achar os valores de cada fluxo individual (como função de QT ) que maximizem a produção total de energia K W1+K W2+K W3 sujeita às restrições Q 1+Q 2+Q 3=QT e restrições de domínio de cada Qi.

Passo 1

O enunciado dá para cada turbina i=1,2,3 uma função de potência
K Wi=l(underbrace-Ci + ai Qi - bi Qi^2quadrática em Qir),l(170-1,6cdot10^-6QT^2r) á
com
(a1,b1)=(0.1277,,4,08times10^-5),; (a2,b2)=(0.1358,,4,69times10^-5),; (a3,b3)=(0.1380,,3,84times10^-5),
e restrições 250<= Q1,Q2<=1110, 250<= Q3<=1225 e
Q1+Q2+Q3=QT
Queremos, para dado QT, distribuir (Q1,Q2,Q3) que maximizem
KW1+KW2+KW3.

Passo 2

Note que o fator comum
G(QT)=170-1,6cdot10^-6QT^2
não depende de Qi. Para maximizar a soma de potências basta, para dado QT, maximizar
S(Q1,Q2,Q3) =sumi=1^3l(aiQi - biQi^2r),
sujeito a Q1+Q2+Q3=QT e aos limites de cada Qi.

Passo 3

Formamos a Lagrangiana
L =sumi=1^3l(aiQi - biQi^2r);-;lambdal(Q1+Q2+Q3 - QTr)

Passo 4

Das condições de ótimalidade partialL/partial Qi=0 vem
ai - 2,bi,Qi ;-;lambda = 0 Longrightarrow Qi=ai - lambda2,bi(i=1,2,3)

Passo 5

Impondo a restrição Q1+Q2+Q3=QT obtemos
sumi=1^3ai - lambda2,bi =QT Longrightarrow lambda =sumi=1^3ai2,bi-QT sumi=1^312,bi

Passo 6

Substituindo lambda em Qi dá a solução analítica
Qi(QT) =ai2,bi ;-;12,bi, sumj=1^3aj2,bj-QT sumj=1^312,bj (i=1,2,3)
Por fim, verifica-se se cada Qi(QT) fica dentro de
[250,1110] para i=1,2 e em [250,1225] para i=3; caso contrário, fixa-se no limite correspondente.

Resposta

Qi(QT) =ai2,bi ;-;12,bi, sumj=1^3aj2,bj-QT sumj=1^312,bj (i=1,2,3),
com (a1,b1)=(0,1277,,4,08times10^-5), (a2,b2)=(0,1358,,4,69times10^-5),
(a3,b3)=(0,1380,,3,84times10^-5), e sujeitas a
250<= Q1,Q2<=1110, 250<= Q3<=1225

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