(a) Obtenha a Lagrangiana da partícula e a equação de movimento.
(b) Mostre que a Lagrangiana
gera uma equação de movimento equivalente à de um oscilador harmônico, mas não difere meramente por uma derivada total da Lagrangiana usual.
Passo 1
Beleza, o enunciado é o seguinte:
(a) A gente precisa achar a Lagrangiana de uma partícula (assumindo massa pra simplificar) num potencial harmônico e daí escrever a equação de movimento via as equações de Euler–Lagrange.
(b) Depois, mostrar que a Lagrangiana “estranha”
dá a mesma equação de movimento do oscilador harmônico, mas não difere da Lagrangiana usual apenas por uma derivada total.
Matéria envolvida: mecânica lagrangiana (Euler–Lagrange) e conceito de Lagrangianas equivalentes até derivada total. Vamos precisar lembrar de:
Formulação .
Equação de Euler–Lagrange: .
Critério de derivada total (Hessiano em ).
Passo 2
Lagrangiana usual do oscilador harmônico (com ):
Agora aplicamos Euler–Lagrange:
ddtpartial Lpartialdot x=ddot x ;;Longrightarrow;; ddot x-(-omega^2x)=0 ;;Longrightarrow;; ddot x+omega^2x=0
Pronto, essa é a equação do oscilador harmônico.
Passo 3
Agora vamos para partialbar Lpartial x =12omega^2,(2x)dot x^2-14omega^4,(4x^3) =omega^2 xdot x^2-omega^4x^3, . Primeiro calculamos os parciais:
partialbar Lpartialdot x =112,4dot x^3+12omega^2x^2,2dot x =tfrac13dot x^3+omega^2x^2dot x
ddtpartialbar Lpartialdot x =ddtl(tfrac13dot x^3r) +ddtl(omega^2x^2dot xr) =dot x^2ddot x +l(2omega^2xdot xr)dot x +omega^2x^2ddot x
Agora a derivada no tempo:
=l(dot x^2+omega^2x^2r)ddot x +2omega^2xdot x^2
Passo 4
Basta montar Euler–Lagrange:
ddtpartialbar Lpartialdot x -partialbar Lpartial x =l(dot x^2+omega^2x^2r)ddot x +2omega^2xdot x^2 -l(omega^2xdot x^2-omega^4x^3r)=0
Agrupando os termos de (dot x^2+omega^2x^2)ddot x +underbrace(2omega^2xdot x^2-omega^2xdot x^2)=omega^2xdot x^2 +omega^4x^3=0 e Longrightarrow (dot x^2+omega^2x^2),ddot x +omega^2x(dot x^2+omega^2x^2)=0 :
Como só zera em pontos isolados, a equação dinâmica é
igual à do oscilador harmônico.
Passo 5
Finalmente, por que não difere da usual só por derivada total?
Se fosse só derivada total , a segunda derivada de e de em relação a seria igual.
No caso usual:
Em :
que não é constante. Logo, não é só derivada total da Lagrangiana usual.
Resposta
(a) Lagrangiana usual , gera .
(b) A Lagrangiana também dá , mas , então não diferem por derivada total.