(a) Obtenha a Lagrangiana da partícula e a equação de movimento.
(b) Mostre que a Lagrangiana
barL=112 dotx^4+12 omega^2 x^2 dotx^2-14 omega^4 x^4
gera uma equação de movimento equivalente à de um oscilador harmônico, mas não difere meramente por uma derivada total da Lagrangiana usual.

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte:
(a) A gente precisa achar a Lagrangiana de uma partícula (assumindo massa barL=112,dot x^4+12,omega^2x^2dot x^2-14,omega^4x^4 pra simplificar) num potencial harmônico e daí escrever a equação de movimento via as equações de Euler–Lagrange.
(b) Depois, mostrar que a Lagrangiana “estranha”
dá a mesma equação de movimento do oscilador harmônico, mas não difere da Lagrangiana usual apenas por uma derivada total.
Matéria envolvida: mecânica lagrangiana (Euler–Lagrange) e conceito de Lagrangianas equivalentes até derivada total. Vamos precisar lembrar de:
  1. Formulação .
  2. Equação de Euler–Lagrange: .
  3. Critério de derivada total (Hessiano em ).

Passo 2

Lagrangiana usual do oscilador harmônico (com L=underbracetfrac12dot x^2T-underbracetfrac12omega^2x^2V ):
partial Lpartial x=-omega^2x, partial Lpartial dot x=dot x
Agora aplicamos Euler–Lagrange:
ddtpartial Lpartialdot x=ddot x ;;Longrightarrow;; ddot x-(-omega^2x)=0 ;;Longrightarrow;; ddot x+omega^2x=0
Pronto, essa é a equação do oscilador harmônico.

Passo 3

Agora vamos para partialbar Lpartial x =12omega^2,(2x)dot x^2-14omega^4,(4x^3) =omega^2 xdot x^2-omega^4x^3, . Primeiro calculamos os parciais:
partialbar Lpartialdot x =112,4dot x^3+12omega^2x^2,2dot x =tfrac13dot x^3+omega^2x^2dot x
ddtpartialbar Lpartialdot x =ddtl(tfrac13dot x^3r) +ddtl(omega^2x^2dot xr) =dot x^2ddot x +l(2omega^2xdot xr)dot x +omega^2x^2ddot x
Agora a derivada no tempo:
=l(dot x^2+omega^2x^2r)ddot x +2omega^2xdot x^2

Passo 4

Basta montar Euler–Lagrange:
ddtpartialbar Lpartialdot x -partialbar Lpartial x =l(dot x^2+omega^2x^2r)ddot x +2omega^2xdot x^2 -l(omega^2xdot x^2-omega^4x^3r)=0
Agrupando os termos de (dot x^2+omega^2x^2)ddot x +underbrace(2omega^2xdot x^2-omega^2xdot x^2)=omega^2xdot x^2 +omega^4x^3=0 e Longrightarrow (dot x^2+omega^2x^2),ddot x +omega^2x(dot x^2+omega^2x^2)=0 :
Longrightarrow (dot x^2+omega^2x^2),(ddot x+omega^2x)=0
boxedddot x+omega^2x=0,
Como só zera em pontos isolados, a equação dinâmica é
igual à do oscilador harmônico.

Passo 5

Finalmente, por que não difere da usual só por derivada total?
Se fosse só derivada total , a segunda derivada de e de em relação a seria igual.
No caso usual:

Em :

que não é constante. Logo, não é só derivada total da Lagrangiana usual.

Resposta

(a) Lagrangiana usual , gera .
(b) A Lagrangiana também dá , mas , então não diferem por derivada total.

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