L d i(t)d t+R i(t)=V0
Obtenha e interprete a solução q(t) para os seguintes casos:
(a) Sistema com corrente inicial i(t=0)=i0 e V0=0.

Passo 1

Beleza, o enunciado é este ODE de um circuito RL em que a tensão da fonte é zero (V₀=0) e a corrente inicial é i(0)=i₀:
L,di(t)dt + R,i(t) = 0
Estamos no conteúdo de equações diferenciais de 1º ordem (circuitos RL), e vamos precisar de:
- Identificar que é uma equação linear homogênea.
- Separar variáveis ou usar fator integrante (aqui fica mais simples por ser homogênea).
- Aplicar a condição inicial i(0)=i₀.

Passo 2

Com V₀=0 a equação vira
L,didt + R,i = 0 Longrightarrow didt = -RL,i
Agora separamos variáveis:
1i,di = -RL,dt
e integramos dos dois lados:
integral 1i,di = -RLintegral dt Longrightarrow ln|i| = -RL,t + C

Passo 3

Exponenciando, obtemos a solução geral da homogênea:
i(t) = A,e^-RLt,
onde A é a constante de integração. Para achar A, usamos i(0)=i₀:
i(0) = A,e^0 = A = i₀
Então a corrente decai exponencialmente com constante de tempo tau = L/R.

Resposta

boxedi(t) = i0,e^-tfracRL,t
Interpretação: a corrente inicial i₀ vai caindo numa “curva exponencial” com meio‐vida típica tau=L/R, até chegar a zero quando t→∞.

Exercícios relacionados