x(t)=x0 cos (omega0 t)+v0omega0 sin (omega0 t)
É fácil concluir que amplitude máxima de oscilação ocorre quando v(t)=0.
c) Mostre como obter a solução na forma simplificada
x(t)=A cos (omega0 t-phi)

Passo 1

Beleza, o enunciado dá a solução geral de um oscilador harmônico livre:
x(t)=x0cos(omega0t)+v0omega0sin(omega0t),
A tarefa é reescrever isso na forma “amplitude e fase”
x(t)=Acosl(omega0t-phir),
Conteúdo necessário: identidade de soma de cosseno, Pythagoras e definição de arco-tangente. Vamos aplicar tudo passo a passo.

Passo 2

A teoria básica aqui é que qualquer combinação
Bcos(omega t)+Csin(omega t)
pode virar
Acos(omega t-phi)
usando a identidade
Acos(omega t-phi)=Acosphi;cos(omega t)+Asinphi;sin(omega t),

Passo 3

Comparando com
x(t)=x0cos(omega0t)+v0omega0sin(omega0t),,
a gente identifica:
• Coeficiente de Acosphi = x0, Asinphi = dfracv0omega0 é , que deve ser .
• Coeficiente de é , que deve ser .
Ou seja:

Passo 4

Agora, usando Pythagoras e arco-tangente:
  1. Soma dos quadrados dá A^2 = (Acosphi)^2+(Asinphi)^2 = x0^2 + l(tfracv0omega0r)^2, :
A = raizx0^2 + l(tfracv0omega0r)^2,
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tanphi = AsinphiAcosphi = v0omega0x0 = v0omega0x0
  1. Dividindo as duas equações dá phi = arctan!l(tfracv0omega0x0r) :
Então
(ajustando o quadrante certinho se ).

Resposta

A forma simplificada é
boxed x(t) = A ,cos!l(omega0t-phir) com A=raizx0^2+l(tfracv0omega0r)^2, phi=arctan!l(tfracv0omega0x0r)

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