L d^2 q(t)d t^2+1C q(t)=0
© Qual é a carga máxima no capacitor quando q0 neq 0 e i(0)=0 ; quando q0=0 e i(0) neq 0; quando q0 neq 0 e i(0) neq 0 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá: o enunciado diz que temos um circuito LC sem resistência, cuja equação de movimento da carga no capacitor é
L,d^2q(t)dt^2+1C,q(t)=0
Isso é matéria de oscilador harmônico (física/AC), e pra resolver a gente vai precisar:
  1. Reconhecer que isso é igualzinho à equação de um pêndulo (ou mola) ideal.
  2. Saber que a solução geral é combinação de cosseno e seno com uma frequência .
  3. Usar as condições iniciais e pra achar as constantes.
  4. Encontrar a amplitude máxima da oscilação, que vai ser a carga máxima no capacitor.

Passo 2

Primeiro, vamos ver a frequência angular d^2qdt^2 + 1LC,q = 0 . Comparando
omega^2 = 1LC Longrightarrow omega = 1raizLC
com a forma padrão , vemos que
Esse é quem dita o “passo” da oscilação.

Passo 3

A solução geral de q(t) = Acos(omega t) + Bsin(omega t) é
i(t) = dot q(t) = -A,omega,sin(omega t) + B,omega,cos(omega t)
Como corrente , temos
Agora aplicamos as iniciais:
  • .
  • , ou seja

Passo 4

Substituindo,
q(t) = q0,cos(omega t) + i0omega,sin(omega t)
Em física de oscilador, a carga máxima qmax = raizA^2 + B^2 = raizq0^2 + l(i0omegar)^2 é simplesmente a amplitude da combinação cosseno+seno, que é
Lembrando , então .

Passo 5

Agora os três casos:
  1. qmax = raizq0^2 + 0 = |q0| e qmax = raiz0 + l(i0raizLCr)^2 = |i0|,raizLC : qmax = raizq0^2 + l(i0raizLCr)^2
  2. e :
  3. e :

Resposta

Carga máxima no capacitor nos três cenários:
  1. Se e :
    .
  2. Se e :
  3. Se e :

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