Para la función f(x, y) = x^2 * y * e^(x * y), calcular en el punto (1,1), la máxima derivada direccional y la derivada direccional en la dirección y sentido definidos por el vector i + j.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular, para a função , no ponto (1,1):
  1. A máxima derivada direcional.
  2. A derivada direcional na direção e sentido definidos pelo vetor .
Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais e gradiente de funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de , o gradiente no ponto dado, e usar essas informações para encontrar as derivadas direcionais solicitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente de no ponto (1,1). O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais:
Vamos substituir e nas derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto (1,1) é:

Passo 4

A máxima derivada direcional em um ponto ocorre na direção do gradiente nesse ponto, e o valor dessa derivada é igual ao módulo do gradiente. Ou seja:
á
Vamos calcular o módulo do gradiente:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada direcional na direção do vetor . Primeiro, precisamos transformar esse vetor em um vetor unitário, pois a derivada direcional usa a direção, não a magnitude.
A magnitude de é:
O vetor unitário na direção de é:
A derivada direcional é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário:

Resposta

A máxima derivada direcional no ponto (1,1) é e a derivada direcional na direção do vetor é .

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