Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones a lo largo de vectores unitarios en los puntos indicados y en direcciones paralelas al vector dado. f(x, y, z) = e^(x y) + y z en (1, 1, 1) con v = (1 ; -1 ; 1)

Passo 1

Vamos calcular a derivada direcional da função no ponto na direção paralela ao vetor . Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que nos ajuda a entender como a função muda em uma direção específica. Precisaremos encontrar o vetor unitário na direção de e calcular o gradiente da função no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor unitário na direção de . O vetor unitário é dado por:
onde é a norma do vetor .

Passo 3

Calculando a norma de :
Portanto, o vetor unitário é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente da função no ponto . O gradiente é dado pelas derivadas parciais de em relação a , e :

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:
No ponto :
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 6

A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário :
Substituindo os valores:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é igual a .

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