Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones a lo largo de vectores unitarios en los puntos indicados y en direcciones paralelas al vector dado.
en
con
Passo 1
Vamos calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção paralela ao vetor
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que nos ajuda a entender como a função muda em uma direção específica. Precisaremos encontrar o vetor unitário na direção de
e calcular o gradiente da função
no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor unitário na direção de
. O vetor unitário
é dado por:
onde
é a norma do vetor
.
Passo 3
Calculando a norma de
:
Portanto, o vetor unitário
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente da função
no ponto
. O gradiente
é dado pelas derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Passo 5
Calculando as derivadas parciais:
No ponto
:
Portanto, o gradiente no ponto é:
Passo 6
A derivada direcional
é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário
:
Substituindo os valores:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é igual a
.