Hallar la derivada de la función f(x, y) = 2 x^2 - 3 y^2 en el punto (1,0) en la dirección que forma con el eje Ox un ángulos de +120 graus.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função no ponto (1,0) na direção que forma um ângulo de com o eixo Ox. Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que nos mostra a taxa de variação da função em uma direção específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é derivada direcional. Ela nos permite calcular como uma função muda em qualquer direção no espaço. Para isso, usamos o gradiente da função e o vetor da direção desejada. O gradiente, , aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . As derivadas parciais são:
Portanto, o gradiente é:

Passo 4

No ponto (1,0), substituímos e no gradiente:

Passo 5

Agora, precisamos determinar o vetor na direção que forma com o eixo Ox. Para isso, usamos as componentes do vetor na forma:
Com :
Então, o vetor de direção é:

Passo 6

A derivada direcional é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor de direção:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A derivada direcional de no ponto (1,0) na direção de é -2.

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