No laboratório de cristalografia onde você trabalha, foi-lhe dado um único cristal de uma substância desconhecida para identificar. Para obter uma informação sobre a substância, você repete a experiência de Davisson-Germer para determinar a distância entre os átomos nos planos da superfície do cristal. Você começa com elétrons que estão basicamente estacionários e os acelera por uma diferença de potencial de grandeza Va c. Os elétrons, então, se espalham pelos átomos na superfície do cristal.
Em seguida, você mede o ângulo theta que localiza o pico de difração de primeira ordem. Finalmente, você repete a medição para diferentes valores de Va c. Seus resultados são dados na tabela a seguir.
Vac(V) 106,3 69,1 49,9 25,2 16,9 13,6
theta( ^circ) 20,4 24,8 30,2 45,5 59,1 73,1
b) Use seus resultados do item (a) para calcular o valor de d para esse cristal.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cristalografia onde precisamos descobrir a distância entre os átomos nos planos de um cristal desconhecido. Para isso, usamos os resultados de um experimento de Davisson-Germer, que envolve elétrons acelerados por uma diferença de potencial $ V_{ac} $ e a medição do ângulo $ \theta $ de difração. Vamos precisar aplicar a relação entre a energia dos elétrons e seu comprimento de onda, além da Lei de Bragg para encontrar a distância $ d $ entre os planos do cristal.

Passo 2

Primeiro, precisamos relacionar a diferença de potencial $ V_{ac} $ com o comprimento de onda dos elétrons ($ \lambda $). Quando um elétron é acelerado por uma tensão $ V_{ac} $, ele ganha energia cinética igual a $ eV_{ac} $, onde $ e $ é a carga do elétron. A energia cinética também pode ser expressa como $ \frac{1}{2}mv^2 $, onde $ m $ é a massa do elétron e $ v $ sua velocidade.
A partir daí, podemos encontrar a velocidade $ v $ dos elétrons:
Vac
Agora, usando a relação de de Broglie, que nos diz que partículas como elétrons têm um comprimento de onda associado:
lambda
Substituindo $ v $:
Vac
Aqui, $ h $ é a constante de Planck.

Passo 3

Com o comprimento de onda $ \lambda $ conhecido, usamos a Lei de Bragg para relacionar esse comprimento com a distância entre os planos do cristal $ d $. A Lei de Bragg é dada por:
lambda
Onde:
  • $ n $ é a ordem de difração (para primeiro ordem, $ n = 1 $)
  • $ \theta $ é o ângulo de difração medido
Rearranjando para encontrar $ d $:
d

Passo 4

Agora, vamos aplicar essas fórmulas aos dados fornecidos. Vamos calcular $ \lambda $ para cada $ V_{ac} $ e depois usar a Lei de Bragg para encontrar $ d $.
Primeiro, listamos os valores das constantes:
  • $ h = 6,626 \times 10^{-34} $ J·s
  • $ e = 1,602 \times 10^{-19} $ C
  • $ m = 9,109 \times 10^{-31} $ kg
Vamos calcular $ \lambda $ para cada $ V_{ac} $:
lambda
Depois, usamos $ d = \frac{\lambda}{2\sin\theta} $, lembrando de converter $ \theta $ de graus para radianos na função seno.
Por exemplo, para $ V_{ac} = 106,3 $ V e $ \theta = 20,4^\circ $:
  1. Calcular $ \lambda $:
Vac
  1. Calcular $ d $:
d
Fazemos esses cálculos para todos os pares de $ V_{ac} $ e $ \theta $.

Passo 5

Após calcular $ d $ para todos os valores, obtemos uma média dos valores encontrados para uma estimativa mais precisa da distância entre os átomos nos planos do cristal. Supondo que os valores de $ d $ obtidos sejam consistentes, a média será representativa.

Resposta

A distância entre os átomos nos planos do cristal é aproximadamente $ 1,76 \times 10^{-10} $ metros.

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