No laboratório de cristalografia onde você trabalha, foi-lhe dado um único cristal de uma substância desconhecida para identificar. Para obter uma informação sobre a substância, você repete a experiência de Davisson-Germer para determinar a distância entre os átomos nos planos da superfície do cristal. Você começa com elétrons que estão basicamente estacionários e os acelera por uma diferença de potencial de grandeza
. Os elétrons, então, se espalham pelos átomos na superfície do cristal.
Em seguida, você mede o ângulo
que localiza o pico de difração de primeira ordem. Finalmente, você repete a medição para diferentes valores de
. Seus resultados são dados na tabela a seguir.
Em seguida, você mede o ângulo
|
106,3 | 69,1 | 49,9 | 25,2 | 16,9 | 13,6 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
20,4 | 24,8 | 30,2 | 45,5 | 59,1 | 73,1 |
b) Use seus resultados do item (a) para calcular o valor de
para esse cristal.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cristalografia onde precisamos descobrir a distância entre os átomos nos planos de um cristal desconhecido. Para isso, usamos os resultados de um experimento de Davisson-Germer, que envolve elétrons acelerados por uma diferença de potencial $ V_{ac} $ e a medição do ângulo $ \theta $ de difração. Vamos precisar aplicar a relação entre a energia dos elétrons e seu comprimento de onda, além da Lei de Bragg para encontrar a distância $ d $ entre os planos do cristal.
Passo 2
Primeiro, precisamos relacionar a diferença de potencial $ V_{ac} $ com o comprimento de onda dos elétrons ($ \lambda $). Quando um elétron é acelerado por uma tensão $ V_{ac} $, ele ganha energia cinética igual a $ eV_{ac} $, onde $ e $ é a carga do elétron. A energia cinética também pode ser expressa como $ \frac{1}{2}mv^2 $, onde $ m $ é a massa do elétron e $ v $ sua velocidade.
A partir daí, podemos encontrar a velocidade $ v $ dos elétrons:
Agora, usando a relação de de Broglie, que nos diz que partículas como elétrons têm um comprimento de onda associado:
Substituindo $ v $:
Aqui, $ h $ é a constante de Planck.
Passo 3
Com o comprimento de onda $ \lambda $ conhecido, usamos a Lei de Bragg para relacionar esse comprimento com a distância entre os planos do cristal $ d $. A Lei de Bragg é dada por:
Onde:
- $ n $ é a ordem de difração (para primeiro ordem, $ n = 1 $)
- $ \theta $ é o ângulo de difração medido
Rearranjando para encontrar $ d $:
Passo 4
Agora, vamos aplicar essas fórmulas aos dados fornecidos. Vamos calcular $ \lambda $ para cada $ V_{ac} $ e depois usar a Lei de Bragg para encontrar $ d $.
Primeiro, listamos os valores das constantes:
- $ h = 6,626 \times 10^{-34} $ J·s
- $ e = 1,602 \times 10^{-19} $ C
- $ m = 9,109 \times 10^{-31} $ kg
Vamos calcular $ \lambda $ para cada $ V_{ac} $:
Depois, usamos $ d = \frac{\lambda}{2\sin\theta} $, lembrando de converter $ \theta $ de graus para radianos na função seno.
Por exemplo, para $ V_{ac} = 106,3 $ V e $ \theta = 20,4^\circ $:
- Calcular $ \lambda $:
- Calcular $ d $:
Fazemos esses cálculos para todos os pares de $ V_{ac} $ e $ \theta $.
Passo 5
Após calcular $ d $ para todos os valores, obtemos uma média dos valores encontrados para uma estimativa mais precisa da distância entre os átomos nos planos do cristal. Supondo que os valores de $ d $ obtidos sejam consistentes, a média será representativa.
Resposta
A distância entre os átomos nos planos do cristal é aproximadamente $ 1,76 \times 10^{-10} $ metros.