Em um laboratório de Engenharia Elétrica, deseja-se estimar a média da resistência elétrica (em ohms) de um novo lote de resistores SMD produzidos por uma máquina recém-calibrada. Uma amostra aleatória de 15 resistores apresentou (em ohms) os seguintes valores:
102,98,101,100,103,99,97,104,100,96,101,99,97,98,100 .
Suponha que a resistência tenha distribuição aproximadamente normal. Construa um intervalo de confiança de 98 \% para a média da resistência dos resistores produzidos.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória de n=15 resistores com as observações (em ohms):
102,98,101,100,103,99,97,104,100,96,101,99,97,98,100.
O que é pedido: construir um intervalo de confiança de 98\% para a média da resistência elétrica do lote (ou seja, um intervalo plausível para \mu, a média verdadeira em ohms).
Informações relevantes listadas:
  • Tamanho da amostra: n=15.
  • Dados amostrais (listados acima).
  • Suposição: a resistência tem distribuição aproximadamente normal.
  • Ninguém informou a variância populacional \sigma^2 — devemos estimá‑la pela amostra.
  • Nível de confiança: 98\%, logo \alpha=0,02 e \alpha/2=0,01.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática):
  • Quando queremos um intervalo de confiança para a média \mu e a variância populacional \sigma^2 é desconhecida e a amostra é relativamente pequena, usa‑se a distribuição t de Student em vez da normal.
  • A fórmula geral do intervalo de confiança de nível 1-\alpha (duas caudas) é
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral.
  • s é o desvio padrão amostral (estimador de \sigma).
  • n é o tamanho da amostra.
  • t_{1-\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade que deixa probabilidade \alpha/2 na cauda superior.
  • Aqui, n-1=14 graus de liberdade. Para 98\% de confiança precisamos de t_{0,99,\,14} (porque 1-\alpha/2=0,99). Consultando tabela t obtém‑se aproximadamente t_{0,99,14}\approx 2,624.

Passo 3

Cálculo da média amostral \bar{x} (passo a passo):
  • Some as observações. Peguei esses números do enunciado.
\sum x_i = 102+98+101+100+103+99+97+104+100+96+101+99+97+98+100 = 1495.
  • A média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = \frac{1495}{15} = 99,666\ldots \approx 99,667\\ \Omega.

Passo 4

Cálculo do desvio padrão amostral s (explicando a ideia e executando):
  • O desvio padrão amostral mede a dispersão das observações em relação à média e é dado por
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}.
  • Para facilitar as contas sem calcular cada (x_i-\bar{x})^2 separadamente, uso a fórmula equivalente
s^2=\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2 - \dfrac{(\sum_{i=1}^n x_i)^2}{n}}{n-1}.
  • Primeiro calculei \sum x_i^2 (peguei os quadrados das observações do enunciado):
\sum x_i^2 = 149075.
  • Já temos \left(\sum x_i\right)^2 = 1495^2 = 2\,235\,025. Assim
\frac{(\sum x_i)^2}{n}=\frac{2\,235\,025}{15}=149001,\overline{6}.
  • Logo
\sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n}=149075-149001,\overline{6}=73,\overline{3}.
  • Dividindo por n-1=14 obtemos a variância amostral
s^2=\frac{73,\overline{3}}{14}=5,238095\ldots
  • Portanto o desvio padrão amostral é
s=\sqrt{5,238095\ldots}\approx 2,289\\ \Omega.
(Arredondei s para três casas decimais; o procedimento mostrou como obter s sem calculadora em princípio, usando soma de quadrados e a fórmula.)

Passo 5

Cálculo do erro padrão e da margem de erro:
  • Erro padrão da média:
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{2,289}{\sqrt{15}}.
  • Como \sqrt{15}\approx 3,873, temos
\text{SE}\approx \frac{2,289}{3,873}\approx 0,591.
  • Margem de erro (multiplicando pelo t crítico):
E=t_{0,99,14}\cdot\text{SE}\approx 2,624\cdot 0,591\approx 1,552.

Passo 6

Construção do intervalo de confiança e interpretação:
  • Aplicando a fórmula \bar{x}\pm E:
\bar{x}-E \approx 99,667 - 1,552 = 98,115,
\bar{x}+E \approx 99,667 + 1,552 = 101,219.
  • Portanto, com 98\% de confiança, o intervalo para a média \mu da resistência é aproximadamente
[98,115;\\\ 101,219]\\ \Omega.
Interpretação informal: se repetíssemos o processo muitas vezes com amostras de 15 resistores, cerca de 98\% desses intervalos construídos do mesmo modo conteriam a verdadeira média \mu.

Resposta

[98,115;\\\ 101,219]\\ \Omega

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