Em um laboratório de Engenharia Elétrica, deseja-se estimar a média da resistência elétrica (em ohms) de um novo lote de resistores SMD produzidos por uma máquina recém-calibrada. Uma amostra aleatória de 15 resistores apresentou (em ohms) os seguintes valores:
Suponha que a resistência tenha distribuição aproximadamente normal. Construa um intervalo de confiança de 98 \% para a média da resistência dos resistores produzidos.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra aleatória de n=15 resistores com as observações (em ohms):
O que é pedido: construir um intervalo de confiança de 98\% para a média da resistência elétrica do lote (ou seja, um intervalo plausível para \mu, a média verdadeira em ohms).
Informações relevantes listadas:
Tamanho da amostra: n=15.
Dados amostrais (listados acima).
Suposição: a resistência tem distribuição aproximadamente normal.
Ninguém informou a variância populacional \sigma^2 — devemos estimá‑la pela amostra.
Nível de confiança: 98\%, logo \alpha=0,02 e \alpha/2=0,01.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática):
Quando queremos um intervalo de confiança para a média \mu e a variância populacional \sigma^2 é desconhecida e a amostra é relativamente pequena, usa‑se a distribuição t de Student em vez da normal.
A fórmula geral do intervalo de confiança de nível 1-\alpha (duas caudas) é
s é o desvio padrão amostral (estimador de \sigma).
n é o tamanho da amostra.
t_{1-\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade que deixa probabilidade \alpha/2 na cauda superior.
Aqui, n-1=14 graus de liberdade. Para 98\% de confiança precisamos de t_{0,99,\,14} (porque 1-\alpha/2=0,99). Consultando tabela t obtém‑se aproximadamente t_{0,99,14}\approx 2,624.
Passo 3
Cálculo da média amostral \bar{x} (passo a passo):
Some as observações. Peguei esses números do enunciado.
Construção do intervalo de confiança e interpretação:
Aplicando a fórmula \bar{x}\pm E:
\bar{x}-E \approx 99,667 - 1,552 = 98,115,
\bar{x}+E \approx 99,667 + 1,552 = 101,219.
Portanto, com 98\% de confiança, o intervalo para a média \mu da resistência é aproximadamente
[98,115;\\\ 101,219]\\ \Omega.
Interpretação informal: se repetíssemos o processo muitas vezes com amostras de 15 resistores, cerca de 98\% desses intervalos construídos do mesmo modo conteriam a verdadeira média \mu.