Em uma indústria de dispositivos eletrônicos, deseja-se avaliar a eficiência de um novo processo de soldagem automática de placas de circuito impresso (PCI). Historicamente, a proporção de placas que apresentavam falhas de contato elétrico após os testes finais era de 5 \%. Após implementar o novo processo, foram inspecionadas 300 placas, das quais 9 apresentaram falha. Verifique se há evidências de que o novo processo reduziu a proporção de falhas. Adote um nível de significância de 2 \%.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma verificação estatística clara:
  • Tamanho da amostra: n=300.
  • Número de placas com falha após o novo processo: X=9.
  • Proporção histórica (sob hipótese nula): p_0=0,05 (ou seja, 5\%).
  • Nível de significância: \alpha=0,02 (ou seja, 2\%).
  • Pergunta a responder: há evidências de que o novo processo reduziu a proporção de falhas? (ou seja, teste unilateral à esquerda).
Informações relevantes que vou usar (retiradas do enunciado): n=300, X=9, p_0=0,05, \alpha=0,02.

Passo 2

Formular as hipóteses estatísticas (essas são as perguntas formais que o teste responde):
H_0: p = p_0 = 0,05
H_1: p < 0,05
Aqui p é a verdadeira proporção de placas com falha com o novo processo. H_1 é unilateral à esquerda porque queremos saber se a proporção diminuiu.

Passo 3

Calcular a proporção amostral e checar condições para usar a aproximação normal:
  • Proporção amostral:
\hat{p}=\frac{X}{n}=\frac{9}{300}=0,03.
  • Condições (aproximação normal pelo CLT para proporções): verificar se n p_0 e n(1-p_0) são suficientemente grandes (regra prática: ambos ≥ 5).
n p_0 = 300 \times 0,05 = 15 \quad\text{(≥5 OK)}
n(1-p_0)=300\times0,95=285 \quad\text{(≥5 OK)}
Como as duas quantidades são grandes, podemos usar o teste-z para proporção.

Passo 4

Apresentar a estatística de teste e o erro padrão (explicando o que é cada termo):
  • Fórmula da estatística-z para um teste de proporção (usando p_0 na estimativa do erro padrão sob H_0):
z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}.
Aqui:
  • \hat{p} é a proporção observada na amostra;
  • p_0 é a proporção sob hipótese nula;
  • o denominador \sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}} é o erro padrão (desvio padrão) da proporção amostral assumindo H_0.
Calcular o erro padrão:
p_0(1-p_0)=0,05\cdot0,95=0,0475.
\frac{p_0(1-p_0)}{n}=\frac{0,0475}{300}\approx0,0001583333.
\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}\approx\sqrt{0,0001583333}\approx0,012585.
Agora a estatística:
z=\frac{0,03-0,05}{0,012585}=\frac{-0,02}{0,012585}\approx-1,589.

Passo 5

Determinar a regra de decisão (valor crítico) e/ou calcular o p-valor:
  • Como o teste é unilateral à esquerda com \alpha=0,02, o valor crítico é o quantil da normal padrão correspondente a 0,02 na cauda esquerda.
z_{\alpha}\approx z_{0,02}\approx -2,054.
Regra pelo valor crítico: rejeitar H_0 se z \le z_{0,02}. Nosso z é -1,589, que é maior que -2,054; portanto, pela regra do valor crítico, não rejeitamos H_0.
  • Pelo p-valor (alternativa recomendada por ser mais informativa): o p-valor é
\text{p-valor} = P(Z \le z_{\text{obs}})=P(Z \le -1,589)\approx 0,056.
Isso significa que, assumindo H_0 verdadeira, a probabilidade de observar uma proporção tão baixa quanto a observada (ou mais baixa) é cerca de 5,6\%.
Comparação com \alpha: \text{p-valor}\approx0,056 > 0,02, então não rejeitamos H_0.

Passo 6

Interpretação final e comentário didático curto:
  • Resultado: não há evidência estatística suficiente, ao nível de significância de 2\%, para concluir que o novo processo reduziu a proporção de falhas (a redução observada de 5\% para 3\% na amostra não é estatisticamente significativa a \alpha=0,02).
  • Observação prática: o p-valor \approx 0,056 é maior que 0,02 mas relativamente pequeno; com um nível de significância mais permissivo (por exemplo \alpha=0,05), esse resultado seria também não significativo? Note que 0,056 ainda é ligeiramente maior que 0,05, então mesmo a 5% seria borderline — isto indica que, embora a evidência não seja forte o suficiente para declarar redução com \alpha=0,02, pode valer a pena coletar mais dados para aumentar a precisão do teste.

Resposta

Não há evidências suficientes para concluir que a proporção de falhas foi reduzida ao nível de significância de 2\% (teste unilateral à esquerda: z\approx-1,589, \text{p-valor}\approx0,056>0,02).

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