Os pesos de 10 pacotes de legumes embalados em gramos são os seguintes 995,1010,1005,1002,998,1000,996,996,999,999. Suponha que os pesos dos pacotes tem distribuição Normal, construir Intervalos de 95 \% de confiança para a variância e o desvio-padrão da população.
I C\left(\sigma^{2}, 95 \%\right)=[10,0946 ; 71,111]

Passo 1

O enunciado dá os pesos (em gramas) de 10 pacotes:
995,\;1010,\;1005,\;1002,\;998,\;1000,\;996,\;996,\;999,\;999.
Pede-se construir intervalos de confiança de 95\% para a variância populacional \sigma^{2} e para o desvio-padrão populacional \sigma.
Lista das informações relevantes:
  • Tamanho da amostra: n=10.
  • Os dados são supostos provenientes de uma população Normal (prerrequisito para usar o método com a distribuição qui-quadrado).
  • É necessário calcular primeiro as estatísticas amostrais (média amostral, variância amostral s^{2} com divisor n-1 e o desvio-padrão amostral s), e depois aplicar a fórmula do intervalo de confiança baseada na distribuição \chi^{2}.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar{x}. Somando os valores (peguei os dados do enunciado),
\sum_{i=1}^{10} x_i = 995+1010+1005+1002+998+1000+996+996+999+999 = 10000.
Portanto a média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i=\frac{10000}{10}=1000.

Passo 3

Calcular a soma dos quadrados dos desvios em relação à média e a variância amostral s^{2}.
Primeiro os desvios x_i-\bar{x} e seus quadrados (peguei os x_i do enunciado):
\begin{array}{ll} 995-1000=-5,&(-5)^2=25,\\[2pt] 1010-1000=10,&10^2=100,\\[2pt] 1005-1000=5,&5^2=25,\\[2pt] 1002-1000=2,&2^2=4,\\[2pt] 998-1000=-2,&(-2)^2=4,\\[2pt] 1000-1000=0,&0^2=0,\\[2pt] 996-1000=-4,&(-4)^2=16,\\[2pt] 996-1000=-4,&(-4)^2=16,\\[2pt] 999-1000=-1,&(-1)^2=1,\\[2pt] 999-1000=-1,&(-1)^2=1. \end{array}
Somando esses quadrados:
\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^{2}=25+100+25+4+4+0+16+16+1+1=192.
A variância amostral (com divisor n-1) é
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}=\frac{192}{9}=21{,}333\ldots
e o desvio-padrão amostral é
s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{21{,}333\ldots}\approx 4{,}620.]

Passo 4

Apresentar a fórmula do intervalo de confiança para a variância quando a população é Normal. Para um nível de confiança 1-\alpha (aqui 1-\alpha=0{,}95), com n observações e n-1 graus de liberdade, o intervalo de confiança para \sigma^{2} é
\left[\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\;n-1}},\;\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\;n-1}}\right],
onde:
  • (n-1)s^{2} é o numerador (soma dos quadrados dos desvios),
  • \chi^{2}_{p,\;k} é o quantil de ordem p da distribuição qui-quadrado com k graus de liberdade (isto é, o valor c tal que P(\chi^{2}_{k}\le c)=p),
  • aqui k=n-1 e \alpha/2=0{,}025.
Explicando em palavras: a distribuição da estatística \dfrac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}} é \chi^{2}_{n-1}. Reorganizando e usando os quantis apropriados obtém-se o intervalo acima.

Passo 5

Determinar os quantis da distribuição \chi^{2} com n-1=9 graus de liberdade para \alpha/2=0{,}025. Consultando a tabela da \chi^{2} (ou software), os valores são:
\chi^{2}_{1-\alpha/2,\;9}=\chi^{2}_{0{,}975,\;9}=19{,}023, \qquad \chi^{2}_{\alpha/2,\;9}=\chi^{2}_{0{,}025,\;9}=2{,}700.
(esses valores foram obtidos na tabela da distribuição qui-quadrado para 9 graus de liberdade e níveis 0{,}975 e 0{,}025.)

Passo 6

Calcular o intervalo de confiança de 95\% para a variância \sigma^{2} usando a fórmula:
\text{limite inferior}=\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{0{,}975,\;9}}=\frac{9\cdot 21{,}333\ldots}{19{,}023}=\frac{192}{19{,}023}\approx 10{,}0946,
\text{limite superior}=\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{0{,}025,\;9}}=\frac{192}{2{,}700}\approx 71{,}111.
Logo o intervalo de confiança de 95\% para \sigma^{2} é
\left[10{,}0946;\;71{,}111\right].

Passo 7

Para obter o intervalo de confiança para o desvio-padrão populacional \sigma, basta extrair a raiz quadrada dos limites do intervalo da variância. Assim,
\text{limite inferior para }\sigma=\sqrt{10{,}0946}\approx 3{,}1772,
\text{limite superior para }\sigma=\sqrt{71{,}111}\approx 8{,}4327.
Portanto o intervalo de 95\% para \sigma é
\left[3{,}1772;\;8{,}4327\right].

Resposta

\displaystyle I C\bigl(\sigma^{2},95\%\bigr)=\left[10{,}0946;\;71{,}111\right]
\displaystyle I C\bigl(\sigma,95\%\bigr)=\left[3{,}1772;\;8{,}4327\right]

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