Um laboratório estuda uma bactéria que cresce exponencialmente, obedecendo à equação P^{\prime}=k P. Sabe-se que, após 5 horas, o número de indivíduos cresceu 80 \% com relação ao inicial. Determine:
(a) o valor de k;
(b) a função P(t);
(c) o tempo necessário para que a população triplique.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (lista clara do que foi fornecido e do que é pedido):
  • Dado: a população P(t) de uma bactéria obedece à equação diferencial \;P' = kP\;, com k constante.
  • Dado: após 5 horas a população cresceu 80\% em relação ao inicial. Em notação matemática isso significa \;P(5)=1{,}8\,P(0).
  • Pedidos:
    (a) determinar o valor de k;
    (b) determinar a função P(t) (em termos de P(0) ou P_0);
    (c) determinar o tempo necessário para que a população triplique, isto é, o t>0 tal que P(t)=3\,P(0).

Passo 2

Entendendo e resolvendo a equação diferencial \;P' = kP\; (aula curtinha):
  • O símbolo \;P'(t)\; significa a derivada da função P em relação ao tempo t, ou seja, a taxa de variação instantânea da população.
  • A equação \;P' = kP\; diz que a taxa de crescimento é proporcional à própria população: isso é o modelo clássico de crescimento exponencial.
  • Método de resolução: separação de variáveis (é o mais direto aqui).
    Passos da separação: P' = \frac{dP}{dt} = kPSepare as variáveis P e t: \frac{dP}{P} = k\,dt.Integre ambos os lados (integrais indefinidas): \int \frac{dP}{P} = \int k\,dt.A integral de \frac{1}{P} é \ln|P| e a integral de k em t é kt, então \ln|P| = kt + C,onde C é a constante de integração.
  • Resolver para P: exponenciando ambos os lados, |P| = e^{kt+C} = e^C e^{kt}.Como P(t) representa número de indivíduos (positivo), podemos escrever P(t)=P_0 e^{kt}, onde \;P_0=e^C>0\; é a população inicial \;P(0).
  • Conclusão geral: a solução geral é P(t)=P_0 e^{kt},com P_0 = P(0).

Passo 3

Usar a informação \;P(5)=1{,}8\,P_0 para achar k:
  • Substituindo t=5 na solução P(t)=P_0 e^{kt} temos P(5)=P_0 e^{5k}.
  • Pelo enunciado, P(5)=1{,}8\,P_0. Igualando: P_0 e^{5k} = 1{,}8\,P_0.
  • Como P_0>0, podemos dividir por P_0: e^{5k} = 1{,}8.
  • Tomando logaritmo natural em ambos os lados: 5k = \ln(1{,}8).
  • Portanto k = \frac{1}{5}\ln(1{,}8).
  • Valor numérico (aproximação): \ln(1{,}8)\approx 0{,}5877866649, logo k \approx \frac{0{,}5877866649}{5} \approx 0{,}1175573330.Arredondando razoavelmente: k \approx 0{,}1176\\ (\text{por hora}).
  • Interpretação: k>0 porque a população cresce; a unidade de k é \text{hora}^{-1} (inverso do tempo usado).

Passo 4

Escrever a função P(t) usando o valor de k:
  • Fórmula geral já obtida: \;P(t)=P_0 e^{kt}.
  • Substituindo k=\dfrac{1}{5}\ln(1{,}8) temos a forma exata P(t)=P_0 \exp\!\bigg(\frac{t}{5}\ln(1{,}8)\bigg).
  • Usando a aproximação de k, P(t)\approx P_0 e^{0{,}1176\,t}.
  • Observação prática: esta é a expressão que permite, dado P_0, calcular a população em qualquer t horas.

Passo 5

Determinar o tempo necessário para a população triplicar ( P(t)=3P_0):
  • Partir da fórmula P(t)=P_0 e^{kt} e impor P(t)=3P_0: P_0 e^{kt} = 3P_0.
  • Dividindo por P_0: e^{kt} = 3.
  • Tomando ln: kt = \ln 3.
  • Isolando t: t = \frac{\ln 3}{k}.
  • Substituir k=\dfrac{1}{5}\ln(1{,}8) dá a forma exata t = \frac{\ln 3}{\dfrac{1}{5}\ln(1{,}8)} = 5\frac{\ln 3}{\ln(1{,}8)}.
  • Valor numérico: \ln 3\approx 1{,}098612289 e usamos k\approx 0{,}1175573330, então t \approx \frac{1{,}098612289}{0{,}1175573330}\approx 9{,}349\\ \text{horas}.Arredondando: t \approx 9{,}35\\ \text{horas}.
  • Converter para horas e minutos: 0{,}35 hora \approx 0{,}35\times 60\approx 21 minutos. Logo aproximadamente 9 horas e 21 minutos.
  • Interpretação: leva um pouco menos do que o dobro do tempo de 5 horas (faz sentido porque triplicar pede mais tempo que crescer 80%).

Passo 6

Verificações e dicas práticas para a prova:
  • Verificação rápida: com k=\dfrac{1}{5}\ln(1{,}8) tem-se e^{5k}=1{,}8, então P(5)=P_0 e^{5k}=1{,}8P_0 está coerente.
  • Em provas prefira deixar a resposta em forma exata ( \dfrac{1}{5}\ln(1{,}8) e 5\dfrac{\ln 3}{\ln 1{,}8}) e, se pedirem numérico, forneça aproximação com 3–4 casas significativas.
  • Se não for permitido calculadora, entregue os resultados em forma logarítmica exacta; se for permitido, apresente o valor numérico arredondado.

Resposta

(a) k=\dfrac{1}{5}\ln(1{,}8)\approx 0{,}1176\\ \text{h}^{-1}
(b) P(t)=P_0 e^{kt}=P_0\exp\!\bigg(\dfrac{t}{5}\ln(1{,}8)\bigg)\approx P_0 e^{0{,}1176\,t}
(c) t=\dfrac{\ln 3}{k}=5\,\dfrac{\ln 3}{\ln(1{,}8)}\approx 9{,}35\\ \text{horas} (aprox. 9 h 21 min)

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