Um laboratório estuda uma bactéria que cresce exponencialmente, obedecendo à equação
. Sabe-se que, após 5 horas, o número de indivíduos cresceu
com relação ao inicial. Determine:
(a) o valor de
;
(b) a função
;
(c) o tempo necessário para que a população triplique.
(a) o valor de
(b) a função
(c) o tempo necessário para que a população triplique.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (lista clara do que foi fornecido e do que é pedido):
- Dado: a população
de uma bactéria obedece à equação diferencial , com constante. - Dado: após
horas a população cresceu em relação ao inicial. Em notação matemática isso significa . - Pedidos:
(a) determinar o valor de;
(b) determinar a função(em termos de ou );
(c) determinar o tempo necessário para que a população triplique, isto é, otal que .
Passo 2
Entendendo e resolvendo a equação diferencial
(aula curtinha):
- O símbolo
significa a derivada da função em relação ao tempo , ou seja, a taxa de variação instantânea da população. - A equação
diz que a taxa de crescimento é proporcional à própria população: isso é o modelo clássico de crescimento exponencial. - Método de resolução: separação de variáveis (é o mais direto aqui).
Passos da separação:Separe as variáveis e : Integre ambos os lados (integrais indefinidas): A integral de é e a integral de em é , então onde é a constante de integração. - Resolver para
: exponenciando ambos os lados, Como representa número de indivíduos (positivo), podemos escrever , onde é a população inicial . - Conclusão geral: a solução geral é
com .
Passo 3
Usar a informação
para achar
:
- Substituindo
na solução temos - Pelo enunciado,
. Igualando: - Como
, podemos dividir por : - Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
- Portanto
- Valor numérico (aproximação):
, logo Arredondando razoavelmente: - Interpretação:
porque a população cresce; a unidade de é (inverso do tempo usado).
Passo 4
Escrever a função
usando o valor de
:
- Fórmula geral já obtida:
. - Substituindo
temos a forma exata - Usando a aproximação de
, - Observação prática: esta é a expressão que permite, dado
, calcular a população em qualquer horas.
Passo 5
Determinar o tempo necessário para a população triplicar (
):
- Partir da fórmula
e impor : - Dividindo por
: - Tomando ln:
- Isolando
: - Substituir
dá a forma exata - Valor numérico:
e usamos , então Arredondando: - Converter para horas e minutos:
hora minutos. Logo aproximadamente horas e minutos. - Interpretação: leva um pouco menos do que o dobro do tempo de 5 horas (faz sentido porque triplicar pede mais tempo que crescer 80%).
Passo 6
Verificações e dicas práticas para a prova:
- Verificação rápida: com
tem-se , então está coerente. - Em provas prefira deixar a resposta em forma exata (
e ) e, se pedirem numérico, forneça aproximação com 3–4 casas significativas. - Se não for permitido calculadora, entregue os resultados em forma logarítmica exacta; se for permitido, apresente o valor numérico arredondado.
Resposta
(a)
(b)
(c) (aprox.
h
min)
(b)
(c)