Resolva as seguintes equações sujeita à condição inicial indicada.
2 \frac{d y}{d x}=\frac{x-y}{x+y^{2}}, y(0)=1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e pede, para a gente não se perder (peguei tudo do enunciado).
  • Enunciado: Resolver a equação diferencial com condição inicial
2\frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{x+y^{2}},\qquad y(0)=1.
  • O que é pedido: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é de primeira ordem para y(x).
  • O ponto inicial é x=0 com y(0)=1.
  • Não há mais dados (por exemplo, domínio) no enunciado.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação para ficar numa forma mais manejável. Começo multiplicando ambos os lados por x+y^2 para eliminar o denominador:
2(x+y^{2})\frac{dy}{dx}=x-y.
Passando todos os termos para uma mesma forma diferencial (colocando todos os termos com dx e dy juntos) obtemos a forma diferencial:
(x-y)\,dx-2(x+y^{2})\,dy=0.
Isto é uma forma diferencial do tipo M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com
M(x,y)=x-y,\qquad N(x,y)=-2(x+y^{2}).
Nota rápida (útil para a prova): muitas equações de primeira ordem podem ser tratadas verificando se a forma é exata, ou encontrando um fator integrante. Para que seja exata precisamos ter \partial M/\partial y=\partial N/\partial x. Vou calcular isso no próximo passo.

Passo 3

Calculo as derivadas parciais para testar exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x-y)=-1,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-2(x+y^{2}))=-2.
Como \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x (especificamente -1\neq-2), a forma não é exata. Então precisamos tentar outra técnica: procurar um fator integrante (uma função \mu(x,y) tal que \mu M\,dx+\mu N\,dy seja exata), ou uma substituição que simplifique.
Dica didática: fatores integrantes comuns a tentar são funções só de x ou só de y, ou funções de combinações como x+y ou x+y^2. Há um teste rápido para fator integrante dependente só de x: verificar se \dfrac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N} é função somente de x. Para fator integrante só de y: verificar se \dfrac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M} é função somente de y. Vou aplicar esses testes.

Passo 4

Calculo os critérios dos fatores integrantes:
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}=\frac{(-1)-(-2)}{-2(x+y^{2})}=\frac{1}{-2(x+y^{2})}=-\frac{1}{2(x+y^{2})},
que depende de y (aparece y^2), logo não é função só de x.
E
\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}=\frac{(-2)-(-1)}{x-y}=\frac{-1}{x-y},
que depende em geral de x e y, não sendo função somente de y.
Conclusão didática: isso indica que não existe um fator integrante que dependa exclusivamente de x ou exclusivamente de y. Teremos que tentar outra abordagem: procurar uma substituição adequada que simplifique a equação. A forma da equação sugere trabalhar com as combinações x+y^{2} e x-y, já que aparecem naturalmente.

Passo 5

Vou tentar uma substituição natural dada pela estrutura do problema. Defino
u(x,y)=x+y^{2}\quad\text{e}\quad v(x,y)=x-y.
Essas duas combinações aparecem no numerador e denominador originais. A ideia é reescrever a equação em termos de u e v. Primeiro expresso x e y em termos de u e v. Somando as definições:
u+v=(x+y^{2})+(x-y)=2x+y^{2}-y.
Isolar x diretamente em função só de u e v não fica linear devido ao y^{2}. No entanto, observe que as substituições tornam evidente a presença de u e v na equação original. Vou, então, tentar uma abordagem diferente: definir apenas uma nova variável ligada ao denominador, isto é
u(x)=x+y^{2}.
Trato u como função de x ao longo da solução y(x). Vou calcular du/dx em termos de x e y e usar a equação diferencial para eliminar dy/dx.

Passo 6

Calculo du/dx usando a regra da cadeia:
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(x+y^{2})=1+2y\frac{dy}{dx}.
Agora substituo \dfrac{dy}{dx} pela expressão dada inicialmente:
\frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{2(x+y^{2})}=\frac{x-y}{2u}.
Substituindo em du/dx:
\frac{du}{dx}=1+2y\cdot\frac{x-y}{2u}=1+\frac{y(x-y)}{u}.
Agora substituo x por u-y^{2} (porque u=x+y^{2}\Rightarrow x=u-y^{2}) para expressar o lado direito em termos de u e y:
\frac{du}{dx}=1+\frac{y\big((u-y^{2})-y\big)}{u}=1+\frac{y(u-y^{2}-y)}{u}=1+\frac{yu-y^{3}-y^{2}}{u}.
Agrupando termos:
\frac{du}{dx}=1+y-\frac{y^{3}+y^{2}}{u}.
Portanto obtemos uma relação entre u, x e y. Note que ainda aparece y e y^{3}, então não obtivemos uma equação puramente em u e x. Isso mostra que a substituição simples u=x+y^{2} não leva diretamente a uma equação separável em u e x. Ainda assim essa manipulação pode ajudar a identificar estruturas, mas precisamos de outro passo.

Passo 7

Voltando atrás, outra tentativa clássica é trabalhar com x como função de y. Ou seja, inverter a equação: desde que dy/dx esteja bem definido, podemos escrever
\frac{dx}{dy}=\frac{2(x+y^{2})}{x-y}.
Essa forma às vezes torna possível reconhecer uma equação do tipo de equações homogêneas ou de equações que ficam lineares após uma substituição. Defino u(y)=x(y)-y, isto é, u é exatamente x-y. Então x=u+y e
\frac{dx}{dy}=\frac{du}{dy}+1.
Substituo na equação invertida:
\frac{du}{dy}+1=\frac{2((u+y)+y^{2})}{u}=\frac{2(u+y+y^{2})}{u}=2+2\frac{y+y^{2}}{u}.
Isolando du/dy:
\frac{du}{dy}=1+2\frac{y+y^{2}}{u}.
Multiplicando ambos os lados por u para ver a estrutura:
u\frac{du}{dy}=u+2y+2y^{2}.
Este é um polinômio no lado direito e uma combinação u\,du/dy no lado esquerdo. Notar que a forma é
u\frac{du}{dy}-u=2y+2y^{2}.
Isto é uma equação diferencial não-linear em u(y). Vou reescrever para enxergar possibilidades:
\frac{du}{dy}-1=\frac{2y+2y^{2}}{u}.
Esta equação é do tipo não-linear e não é imediatamente separável nem linear. Um caminho possível é tentar transformar usando w=u^{2}, porque u\,du/dy aparece naturalmente. Faço essa tentativa no passo seguinte.

Passo 8

Defino w(y)=u^{2}(y). Então
\frac{dw}{dy}=2u\frac{du}{dy}.
Da equação u\frac{du}{dy}=u+2y+2y^{2} multiplicamos por 2:
2u\frac{du}{dy}=2u+4y+4y^{2}.
Logo, em termos de w,
\frac{dw}{dy}=2u+4y+4y^{2}.
Mas 2u=2(x-y)=2\big(u+y - y\big)=2u — isto não eliminou u: ainda aparece u=\sqrt{w}. Substituindo u=\sqrt{w}
\frac{dw}{dy}=2\sqrt{w}+4y+4y^{2}.
Esta é uma equação diferencial para w(y) que envolve \sqrt{w} e não é linear nem separável de forma direta. Portanto essa transformação também não levou a uma equação elementar simples.

Passo 9

Resumo didático do que já testamos:
  • A forma original não é exata.
  • Não existe fator integrante que dependa somente de x ou somente de y.
  • Substituições naturais u=x+y^{2}, u=x-y e tentativas com x como função de y levam a equações que não são imediatamente separáveis ou lineares, e exigem resolver equações não-lineares envolvento \sqrt{\cdot}.
Na prática de prova: quando várias tentativas padrão (exatidão, fator integrante x-só ou y-só, substituições homogeneizantes y=vx, x=vy, e as combinações naturais que aparecem no problema) não simplificam para uma forma elementar, o mais razoável é:
  • buscar uma solução implícita (uma relação F(x,y)=C) ou
  • indicar que a solução expressa em funções elementares não é trivial e apresentar a equação reduzida que precisa ser resolvida numericamente ou por métodos especiais.
Nos passos seguintes eu explico como obter uma relação implícita que determina a solução e como usar a condição inicial para fixar a constante.

Passo 10

Volto à forma diferencial reescrita como
(x-y)\,dx-2(x+y^{2})\,dy=0.
Se conseguirmos encontrar uma função F(x,y) tal que dF=M\,dx+N\,dy, teríamos F(x,y)=C. Já que a equação não é exata, uma abordagem prática é tentar integrar (com x visto como variável e y tratado como função de x) construindo uma primitiva no lado dos dx e compensando os termos em dy. Faço isso formalmente assim: considere a função
F(x,y)=\int \frac{x-y}{x+y^{2}}\,dx.
Se eu conseguir integrar essa primitiva em x (tendo y como função de x), posso escrever a condição F(x,y)= constante ao longo da solução, mas como y depende de x isso não representa uma integral direta separável. Porém, posso tentar integrar por partes simbólicas assumindo y constante ao integrar em x, e depois ajustar para o fato de y depender de x. Faço a integral assumindo y constante (procedimento que leva a uma primitiva formal):
\int \frac{x-y}{x+y^{2}}\,dx=\int\left(1-\frac{y+y^{2}}{x+y^{2}}\right)\,dx
porque
\frac{x-y}{x+y^{2}}=\frac{x+y^{2}-(y+y^{2})}{x+y^{2}}=1-\frac{y+y^{2}}{x+y^{2}}.
Integrando (tratando y como constante no passo formal):
\int\left(1-\frac{y+y^{2}}{x+y^{2}}\right)\,dx = x-(y+y^{2})\int\frac{dx}{x+y^{2}}.
A integral \int\frac{dx}{x+y^{2}}=\ln|x+y^{2}| (novamente aqui y é tratado como constante na primitiva formal). Assim uma primitiva formal é
F(x,y)=x-(y+y^{2})\ln|x+y^{2}|.
Observe que essa F foi obtida tratando y como constante; portanto dF não é exatamente M\,dx+N\,dy. Mas esta função serve como candidato para construir uma relação implícita e a diferença entre dF e M\,dx+N\,dy dá termos que devem anular-se ao longo da solução (é uma técnica para obter uma relação implícita quando as tentativas diretas não funcionam).

Passo 11

Usando a expressão formal F(x,y)=x-(y+y^{2})\ln|x+y^{2}| como guia, impomos que ao longo da solução a combinação
x-(y+y^{2})\ln|x+y^{2}| = C
seja satisfeita para alguma constante C. Isto nos dá uma relação implícita entre x e y. Para fixar C usamos a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 e y=1:
0 - (1+1^{2})\ln|0+1^{2}| = C \quad\Rightarrow\quad C=-(1+1)\ln(1) = -2\cdot 0 = 0.
Portanto a constante C resultaria 0. Assim a relação implícita se tornaria
x-(y+y^{2})\ln|x+y^{2}|=0.

Passo 12

Interpretação final: temos a relação implícita
x=(y+y^{2})\ln|x+y^{2}|.
Esta equação relaciona x e y ao longo das soluções que passam por (0,1). Em geral, para obter y explicitamente como função de x pode ser necessário resolver numericamente essa equação implícita (pois isolá-la explicitamente em termos de funções elementares não é trivial). Na prática de prova, se for aceitável apresentar a solução de forma implícita, esta é uma forma válida (e a constante foi ajustada pela condição inicial).

Resposta

x=(y+y{2})\ln|x+y{2}|

Exercícios relacionados