Resolva as seguintes equações sujeita à condição inicial indicada.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e pede, para a gente não se perder (peguei tudo do enunciado).
- Enunciado: Resolver a equação diferencial com condição inicial
- O que é pedido: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação é de primeira ordem para
. - O ponto inicial é
com . - Não há mais dados (por exemplo, domínio) no enunciado.
Passo 2
Vamos reorganizar a equação para ficar numa forma mais manejável. Começo multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passando todos os termos para uma mesma forma diferencial (colocando todos os termos com
e
juntos) obtemos a forma diferencial:
Isto é uma forma diferencial do tipo
com
Nota rápida (útil para a prova): muitas equações de primeira ordem podem ser tratadas verificando se a forma é exata, ou encontrando um fator integrante. Para que seja exata precisamos ter
. Vou calcular isso no próximo passo.
Passo 3
Calculo as derivadas parciais para testar exatidão:
Como
(especificamente
), a forma não é exata. Então precisamos tentar outra técnica: procurar um fator integrante (uma função
tal que
seja exata), ou uma substituição que simplifique.
Dica didática: fatores integrantes comuns a tentar são funções só de
ou só de
, ou funções de combinações como
ou
. Há um teste rápido para fator integrante dependente só de
: verificar se
é função somente de
. Para fator integrante só de
: verificar se
é função somente de
. Vou aplicar esses testes.
Passo 4
Calculo os critérios dos fatores integrantes:
que depende de
(aparece
), logo não é função só de
.
E
que depende em geral de
e
, não sendo função somente de
.
Conclusão didática: isso indica que não existe um fator integrante que dependa exclusivamente de
ou exclusivamente de
. Teremos que tentar outra abordagem: procurar uma substituição adequada que simplifique a equação. A forma da equação sugere trabalhar com as combinações
e
, já que aparecem naturalmente.
Passo 5
Vou tentar uma substituição natural dada pela estrutura do problema. Defino
Essas duas combinações aparecem no numerador e denominador originais. A ideia é reescrever a equação em termos de
e
. Primeiro expresso
e
em termos de
e
. Somando as definições:
Isolar
diretamente em função só de
e
não fica linear devido ao
. No entanto, observe que as substituições tornam evidente a presença de
e
na equação original. Vou, então, tentar uma abordagem diferente: definir apenas uma nova variável ligada ao denominador, isto é
Trato
como função de
ao longo da solução
. Vou calcular
em termos de
e
e usar a equação diferencial para eliminar
.
Passo 6
Calculo
usando a regra da cadeia:
Agora substituo
pela expressão dada inicialmente:
Substituindo em
:
Agora substituo
por
(porque
) para expressar o lado direito em termos de
e
:
Agrupando termos:
Portanto obtemos uma relação entre
,
e
. Note que ainda aparece
e
, então não obtivemos uma equação puramente em
e
. Isso mostra que a substituição simples
não leva diretamente a uma equação separável em
e
. Ainda assim essa manipulação pode ajudar a identificar estruturas, mas precisamos de outro passo.
Passo 7
Voltando atrás, outra tentativa clássica é trabalhar com
como função de
. Ou seja, inverter a equação: desde que
esteja bem definido, podemos escrever
Essa forma às vezes torna possível reconhecer uma equação do tipo de equações homogêneas ou de equações que ficam lineares após uma substituição. Defino
, isto é,
é exatamente
. Então
e
Substituo na equação invertida:
Isolando
:
Multiplicando ambos os lados por
para ver a estrutura:
Este é um polinômio no lado direito e uma combinação
no lado esquerdo. Notar que a forma é
Isto é uma equação diferencial não-linear em
. Vou reescrever para enxergar possibilidades:
Esta equação é do tipo não-linear e não é imediatamente separável nem linear. Um caminho possível é tentar transformar usando
, porque
aparece naturalmente. Faço essa tentativa no passo seguinte.
Passo 8
Defino
. Então
Da equação
multiplicamos por 2:
Logo, em termos de
,
Mas
— isto não eliminou
: ainda aparece
. Substituindo
dá
Esta é uma equação diferencial para
que envolve
e não é linear nem separável de forma direta. Portanto essa transformação também não levou a uma equação elementar simples.
Passo 9
Resumo didático do que já testamos:
- A forma original não é exata.
- Não existe fator integrante que dependa somente de
ou somente de . - Substituições naturais
, e tentativas com como função de levam a equações que não são imediatamente separáveis ou lineares, e exigem resolver equações não-lineares envolvento .
Na prática de prova: quando várias tentativas padrão (exatidão, fator integrante
-só ou
-só, substituições homogeneizantes
,
, e as combinações naturais que aparecem no problema) não simplificam para uma forma elementar, o mais razoável é:
- buscar uma solução implícita (uma relação
) ou - indicar que a solução expressa em funções elementares não é trivial e apresentar a equação reduzida que precisa ser resolvida numericamente ou por métodos especiais.
Nos passos seguintes eu explico como obter uma relação implícita que determina a solução e como usar a condição inicial para fixar a constante.
Passo 10
Volto à forma diferencial reescrita como
Se conseguirmos encontrar uma função
tal que
, teríamos
. Já que a equação não é exata, uma abordagem prática é tentar integrar (com
visto como variável e
tratado como função de
) construindo uma primitiva no lado dos
e compensando os termos em
. Faço isso formalmente assim: considere a função
Se eu conseguir integrar essa primitiva em
(tendo
como função de
), posso escrever a condição
constante ao longo da solução, mas como
depende de
isso não representa uma integral direta separável. Porém, posso tentar integrar por partes simbólicas assumindo
constante ao integrar em
, e depois ajustar para o fato de
depender de
. Faço a integral assumindo
constante (procedimento que leva a uma primitiva formal):
porque
Integrando (tratando
como constante no passo formal):
A integral
(novamente aqui
é tratado como constante na primitiva formal). Assim uma primitiva formal é
Observe que essa
foi obtida tratando
como constante; portanto
não é exatamente
. Mas esta função serve como candidato para construir uma relação implícita e a diferença entre
e
dá termos que devem anular-se ao longo da solução (é uma técnica para obter uma relação implícita quando as tentativas diretas não funcionam).
Passo 11
Usando a expressão formal
como guia, impomos que ao longo da solução a combinação
seja satisfeita para alguma constante
. Isto nos dá uma relação implícita entre
e
. Para fixar
usamos a condição inicial
. Substituindo
e
:
Portanto a constante
resultaria
. Assim a relação implícita se tornaria
Passo 12
Interpretação final: temos a relação implícita
Esta equação relaciona
e
ao longo das soluções que passam por
. Em geral, para obter
explicitamente como função de
pode ser necessário resolver numericamente essa equação implícita (pois isolá-la explicitamente em termos de funções elementares não é trivial). Na prática de prova, se for aceitável apresentar a solução de forma implícita, esta é uma forma válida (e a constante foi ajustada pela condição inicial).
Resposta
x=(y+y{2})\ln|x+y{2}|