Resolva as seguintes equações diferenciais.
(6 x y) d x+\left(4 y+9 x^{2}\right) d y=0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(6 x y)\,dx+\bigl(4 y+9 x^{2}\bigr)\,dy=0.
Informações dadas (peguei do enunciado):
  • A equação está na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=6x y,\qquad N(x,y)=4y+9x^{2}.
  • Quer-se a solução geral (uma relação entre x e y contendo uma constante arbitrária).

Passo 2

Teste de exatidão (primeiro passo técnico): para saber se a equação é exata, calculo as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(6x y\bigr)=6x,
\frac{\partial N}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(4y+9x^{2}\bigr)=18x.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=6x não é igual a \dfrac{\partial N}{\partial x}=18x, a equação NÃO é exata na sua forma original. Então precisamos de um fator integrante.

Passo 3

Ideia do fator integrante (explicação didática): se existir um fator integrante \mu que dependa só de y, substituindo M e N por \mu(y)M e \mu(y)N podemos tornar a equação exata. A condição a usar vem de exigir
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\mu M\bigr)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\mu N\bigr).
Desenvolvendo e dividindo por \mu obtém-se a condição
\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}=\frac{\mu'(y)}{\mu(y)},
ou seja, se a função \dfrac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M} depender apenas de y, então
\mu(y)=\exp\left(\int \frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}\,dy\right).

Passo 4

Calcular a quantidade acima para o nosso M e N:
\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}=18x-6x=12x,
\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}=\frac{12x}{6xy}=\frac{2}{y}.
Isso depende somente de y (excelente!). Então um fator integrante que depende apenas de y existe e é
\mu(y)=\exp\left(\int \frac{2}{y}\,dy\right)=\exp\bigl(2\ln|y|\bigr)=y^{2},
observando que aqui usamos y\neq 0 ao computar \ln|y|. Podemos escolher \mu(y)=y^{2}.

Passo 5

Multiplico a equação original por \mu(y)=y^{2}. A equação transformada fica
\bigl(6x y^{3}\bigr)\,dx+\bigl(4y^{3}+9x^{2}y^{2}\bigr)\,dy=0.
Defino M^{*}(x,y)=6x y^{3} e N^{*}(x,y)=4y^{3}+9x^{2}y^{2}. Verifico exatidão:
\frac{\partial M^{*}}{\partial y}=18x y^{2},\qquad \frac{\partial N^{*}}{\partial x}=18x y^{2},
são iguais, logo a equação multiplicada por y^{2} é exata.

Passo 6

Resolver a equação exata: existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M^{*}(x,y)=6x y^{3}, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N^{*}(x,y)=4y^{3}+9x^{2}y^{2}.
Integro \dfrac{\partial \Phi}{\partial x}=6x y^{3} em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int 6x y^{3}\,dx = 3x^{2}y^{3}+h(y),
onde h(y) é uma função a achar. Agora uso a condição sobre \partial\Phi/\partial y. Derivando \Phi em relação a y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=9x^{2}y^{2}+h'(y).
Igualando a N^{*}(x,y):
9x^{2}y^{2}+h'(y)=4y^{3}+9x^{2}y^{2}\quad\Rightarrow\quad h'(y)=4y^{3}.
Integro h'(y) em relação a y:
h(y)=\int 4y^{3}\,dy = y^{4}+C_{1}.
Assim a função potencial é
\Phi(x,y)=3x^{2}y^{3}+y^{4}+C_{1}.

Passo 7

A solução geral implícita da equação diferencial (após multiplicar por \mu) é dada por \Phi(x,y)= constante. Posso absorver C_{1} num único constante arbitrária C. Então a solução geral é
3x^{2}y^{3}+y^{4}=C,
ou, equivalente e factorizada,
y^{3}\bigl(3x^{2}+y\bigr)=C.

Resposta

\;3x^{2}y^{3}+y^{4}=C

Exercícios relacionados