Resolva as seguintes equações diferenciais.
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas (peguei do enunciado):
- A equação está na forma
com - Quer-se a solução geral (uma relação entre
e contendo uma constante arbitrária).
Passo 2
Teste de exatidão (primeiro passo técnico): para saber se a equação é exata, calculo as derivadas parciais
Como
não é igual a
, a equação NÃO é exata na sua forma original. Então precisamos de um fator integrante.
Passo 3
Ideia do fator integrante (explicação didática): se existir um fator integrante
que dependa só de
, substituindo
e
por
e
podemos tornar a equação exata. A condição a usar vem de exigir
Desenvolvendo e dividindo por
obtém-se a condição
ou seja, se a função
depender apenas de
, então
Passo 4
Calcular a quantidade acima para o nosso
e
:
Isso depende somente de
(excelente!). Então um fator integrante que depende apenas de
existe e é
observando que aqui usamos
ao computar
. Podemos escolher
.
Passo 5
Multiplico a equação original por
. A equação transformada fica
Defino
e
. Verifico exatidão:
são iguais, logo a equação multiplicada por
é exata.
Passo 6
Resolver a equação exata: existe uma função potencial
tal que
Integro
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função a achar. Agora uso a condição sobre
. Derivando
em relação a
:
Igualando a
:
Integro
em relação a
:
Assim a função potencial é
Passo 7
A solução geral implícita da equação diferencial (após multiplicar por
) é dada por
constante. Posso absorver
num único constante arbitrária
. Então a solução geral é
ou, equivalente e factorizada,