Um laboratório farmacêutico afirma que o seu medicamento hixizine, recentemente lançado no mercado tem uma eficácia de 90 \% na cura de alergia respiratória. Numa amostra aleatória de 200 pacientes que sofrem desta alergia respiratória, obteu-se um total de 160 pacientes curados que utilizaram o novo medicamento. Avalie se a propaganda do laboratório é confiável ao nível de 3 \% ?

Passo 1

O enunciado pede um teste de hipótese para proporção: o laboratório afirma que a eficácia verdadeira é p_{0}=0,90. Numa amostra de tamanho n=200 observou-se \,160 curados, ou seja, proporção amostral \hat p=160/200. Vamos usar o teste-z para proporções, ao nível de significância \alpha=0,03.

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H_{0}:p = p_{0}=0,90
H_{1}:p \neq 0,90
e a estatística de teste é
z \;=\;\frac{\hat p - p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0}(1-p_{0})}{n}}}\,.

Passo 3

Calculamos a proporção amostral e o desvio-padrão sob H_{0}:
\hat p = \frac{160}{200} = 0,80, \qquad \mathrm{se}\;H_{0}\;:\;\sigma_{\hat p} =\sqrt{\frac{0,90\,(1-0,90)}{200}} =\sqrt{\frac{0,09}{200}} =\sqrt{0,00045} \approx 0,0212.
Como n p_{0}=200\cdot0,90=180>5 e n(1-p_{0})=20>5, a aproximação normal é válida.

Passo 4

Substituindo na estatística:
z = \frac{0,80 - 0,90}{0,0212} = \frac{-0,10}{0,0212} \approx -4,71.

Passo 5

Para \alpha=0,03 em teste bilateral, o valor crítico é
z_{1-\alpha/2}=z_{0,985}\approx 2,17,
logo a região de rejeição é
\{z< -2,17\}\cup\{z>+2,17\}.

Passo 6

Como z\approx -4,71 < -2,17, cai na região de rejeição de H_{0}. Portanto rejeitamos H_{0} e concluímos que a eficácia real difere de 90\%.

Resposta

A propaganda não é confiável ao nível de 3\%; há evidência estatística de que a eficácia é diferente (menor) de 90\%.

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