Uma população normal apresenta historicamente média de 60 unidades. Um analista, duvidando que este valor persista na atualidade, levantou uma amostra de 20 elementos, obtendo valor médio de 55 unidades e desvio padrão 2 unidades. Teste ao nível de 5 \% de significância se a hipótese que a média histórica é a verdadeira?

Passo 1

O enunciado fornece uma população normal com média histórica \mu_0 = 60. Foi colhida uma amostra de tamanho n = 20 com média amostral \bar x = 55 e desvio-padrão amostral s = 2. Vamos testar, ao nível de significância \alpha = 5\%, se a média atual difere de 60 usando o teste t de Student para média com variância desconhecida.

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H_0: \mu = 60
H_1: \mu \neq 60
É um teste bilateral.

Passo 3

O estatístico de teste é dado por
t = \frac{\bar x - \mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{55 - 60}{2 / \sqrt{20}} = \frac{-5}{2 / \sqrt{20}} = \frac{-5}{2 / 4.4721} \approx -11.18

Passo 4

Para \alpha = 0{,}05 em um teste bilateral com n-1 = 19 graus de liberdade, o valor crítico é
t_{0{,}975,19} \approx 2{,}093
A região de rejeição é \{\,t: |t| > 2{,}093\}.

Passo 5

Como |t|\approx 11{,}18 > 2{,}093, rejeitamos H_0.

Resposta

Rejeita-se H_0: há evidência ao nível de 5\% de que a média atual difere de 60.

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