Um laboratório fez oito determinações da quantidade de impurezas em porções de certo composto. Os valores eram (em mg):
12,4-12,6-12,0-12,0-12,1-12,3-12,5-12,7
Teste a hipótese de que o desvio-padrão é 1 , ao nível se significância de 0,05 .

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos n=8 determinações da quantidade de impurezas, e queremos testar, ao nível de significância \alpha=0,05, a hipótese
H_0:\sigma = 1 \quad\text{versus}\quad H_1:\sigma \neq 1.
O teste apropriado para variância usa a distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade. Para resolver precisamos calcular a variância amostral s^2 e o estatístico
\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar x:
\bar x = \frac{1}{8}\sum_{i=1}^{8} x_i = \frac{12,4 + 12,6 + 12,0 + 12,0 + 12,1 + 12,3 + 12,5 + 12,7}{8} = \frac{98,6}{8} = 12,325.

Passo 3

Calcular a soma dos quadrados dos desvios e a variância amostral:
\sum_{i=1}^{8}(x_i - \bar x)^2 = 0,515,
s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{8}(x_i - \bar x)^2 = \frac{0,515}{7} \approx 0,0736.

Passo 4

Sob H_0, o estatístico
\chi^2 = \frac{(n-1)\,s^2}{\sigma_0^2}
segue a distribuição \chi^2 com 7 graus de liberdade. Substituindo os valores:
\chi^2 = \frac{7 \times 0,0736}{1^2} = 0,515.

Passo 5

Para \alpha=0,05 e df=7, os valores críticos bicaudais são
\chi^2_{0,025,\,7} = 2,167 \quad\text{e}\quad \chi^2_{0,975,\,7} = 14,067.
A região de rejeição de H_0 é
\chi^2 < 2,167 \quad\text{ou}\quad \chi^2 > 14,067.

Passo 6

Como o valor observado \chi^2 = 0,515 é menor que 2,167, cai na região de rejeição. Portanto rejeitamos H_0 ao nível de 0,05.

Resposta

Rejeita-se H_0: não há evidência de que o desvio-padrão seja 1; na verdade, ele é significantemente menor.

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