Em um laboratório de materiais de construção há 6 amostras de concreto aprovadas e 3 amostras reprovadas em um ensaio de resistência. Quatro amostras são selecionadas para análise. Defina a variável aleatória
X=\text { numero de amostras reprovadas selecionadas. }
Encontre a FDP da v.a. X quando as seleções são feitas:
com reposição?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 6 amostras aprovadas e 3 amostras reprovadas, ou seja, 9 amostras no total.
  • Serão escolhidas 4 amostras, com reposição (cada retirada é devolvida antes da próxima).
  • A variável aleatória é X= número de amostras reprovadas selecionadas entre as 4 retiradas.
O que o problema pede aqui: encontrar a função de probabilidade (FDP) de X no caso em que as seleções são feitas com reposição.

Passo 2

Entendendo a situação com reposição: cada seleção é independente das outras e a probabilidade de escolher uma amostra reprovada não muda entre retiradas (pois a amostra é reposta). Então cada retirada é um ensaio de Bernoulli com:
  • sucesso = “amostra reprovada”,
  • probabilidade de sucesso p fixa em cada ensaio.
Calculemos p: há 3 reprovadas entre 9 totais, logo
p=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.
A probabilidade de escolher uma amostra aprovada (falha do Bernoulli, para contar reprovadas) é
1-p=\frac{2}{3}.

Passo 3

Quando temos n ensaios independentes iguais (aqui n=4) e queremos o número X de sucessos (aqui sucessos = reprovadas), X segue uma distribuição binomial \mathrm{Bin}(n,p). A FDP (função de massa de probabilidade) da binomial é dada por:
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k},\qquad k=0,1,\dots,n,
onde \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o número de maneiras de escolher quais k ensaios dentre n terão sucesso.
Aqui temos n=4 e p=\dfrac{1}{3}, então a fórmula específica é
P(X=k)=\binom{4}{k}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}\left(\frac{2}{3}\right)^{4-k},\qquad k=0,1,2,3,4.

Passo 4

Vamos calcular \binom{4}{k} para cada k, mostrando como se obtém:
\binom{4}{0}=1,\qquad \binom{4}{1}=\frac{4!}{1!3!}=4,\qquad \binom{4}{2}=\frac{4!}{2!2!}=6,
\binom{4}{3}=4,\qquad \binom{4}{4}=1.
(lembrando que 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24.)

Passo 5

Agora substituímos na fórmula e simplificamos cada probabilidade sem usar calculadora, trabalhando com frações:
Para k=0:
P(X=0)=\binom{4}{0}\left(\frac{1}{3}\right)^{0}\left(\frac{2}{3}\right)^{4}=1\cdot 1\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{4}=\frac{16}{81}.
Para k=1:
P(X=1)=\binom{4}{1}\left(\frac{1}{3}\right)^{1}\left(\frac{2}{3}\right)^{3} =4\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{8}{27} =\frac{32}{81}.
Para k=2:
P(X=2)=\binom{4}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{2} =6\cdot\frac{1}{9}\cdot\frac{4}{9} =\frac{24}{81}=\frac{8}{27}.
Para k=3:
P(X=3)=\binom{4}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{1} =4\cdot\frac{1}{27}\cdot\frac{2}{3} =\frac{8}{81}.
Para k=4:
P(X=4)=\binom{4}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^{4}\left(\frac{2}{3}\right)^{0} =1\cdot\frac{1}{81}\cdot 1 =\frac{1}{81}.
Verificação rápida: somando as frações
\frac{16}{81}+\frac{32}{81}+\frac{24}{81}+\frac{8}{81}+\frac{1}{81}=\frac{81}{81}=1,
como deve ser.

Resposta

P(X=k)=\binom{4}{k}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}\left(\frac{2}{3}\right)^{4-k},\qquad k=0,1,2,3,4.
P(X=0)=\frac{16}{81}
P(X=1)=\frac{32}{81}
P(X=2)=\frac{24}{81}=\frac{8}{27}
P(X=3)=\frac{8}{81}
P(X=4)=\frac{1}{81}

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