Em um laboratório de materiais de construção há 6 amostras de concreto aprovadas e 3 amostras reprovadas em um ensaio de resistência. Quatro amostras são selecionadas para análise. Defina a variável aleatória
Encontre a FDP da v.a.
quando as seleções são feitas:
com reposição?
com reposição?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
amostras aprovadas e amostras reprovadas, ou seja, amostras no total. - Serão escolhidas
amostras, com reposição (cada retirada é devolvida antes da próxima). - A variável aleatória é
número de amostras reprovadas selecionadas entre as retiradas.
O que o problema pede aqui: encontrar a função de probabilidade (FDP) de
no caso em que as seleções são feitas com reposição.
Passo 2
Entendendo a situação com reposição: cada seleção é independente das outras e a probabilidade de escolher uma amostra reprovada não muda entre retiradas (pois a amostra é reposta). Então cada retirada é um ensaio de Bernoulli com:
- sucesso = “amostra reprovada”,
- probabilidade de sucesso
fixa em cada ensaio.
Calculemos
: há
reprovadas entre
totais, logo
A probabilidade de escolher uma amostra aprovada (falha do Bernoulli, para contar reprovadas) é
Passo 3
Quando temos
ensaios independentes iguais (aqui
) e queremos o número
de sucessos (aqui sucessos = reprovadas),
segue uma distribuição binomial
. A FDP (função de massa de probabilidade) da binomial é dada por:
onde
é o número de maneiras de escolher quais
ensaios dentre
terão sucesso.
Aqui temos
e
, então a fórmula específica é
Passo 4
Vamos calcular
para cada
, mostrando como se obtém:
(lembrando que
.)
Passo 5
Agora substituímos na fórmula e simplificamos cada probabilidade sem usar calculadora, trabalhando com frações:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Verificação rápida: somando as frações
como deve ser.