(Valor: 10 pontos) Em uma obra de um edifício, quatro corpos de prova de concreto são selecionados aleatoriamente de um lote de ensaios. Sabe-se que cada corpo de prova pode ser classificado como: Adequado (A) ou com Resistência abaixo da especificada ®. No lote total existem 40 corpos de prova, dos quais 12 apresentam resistência abaixo da especificada. Encontre a FDP da variável aleatória
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente para não perder o foco):
- No lote total há
corpos de prova. - Desses,
estão com resistência abaixo da especificada (vou chamar isso de “sucesso” no contexto de detectar um problema; isto é, tipo ). - Os restantes
são adequados (tipo ). - Selecionam-se aleatoriamente
corpos de prova, sem reposição. - A variável aleatória
é o número de corpos com resistência abaixo da especificada (número de ) entre os escolhidos.
O que o problema pede: encontrar a função de probabilidade (FDP, ou seja, a distribuição de probabilidade discreta) de, isto é, calcular para os possíveis valores de .
Passo 2
Razão e ideia do método (explicação didática, passo a passo, sem pular etapas):
- Como a seleção é sem reposição e cada corpo é classificado como
ou , o número de na amostra de tamanho segue a distribuição hipergeométrica. - Intuição combinatória: para que ocorram exatamente
itens na amostra de , - escolhemos
itens dentre os defeituosos, e - escolhemos os
restantes dentre os adequados. - o número de maneiras favoráveis é
. - o número total de amostras possíveis de tamanho
é .
- escolhemos
- Portanto a fórmula geral da FDP é
- Aqui
(lê-se “n escolhe r”) é o coeficiente binomial definido por
onde
é o fatorial de
(produto
). Na prática, para calcular combinatórios pequenos é mais simples usar a forma em produtos (por exemplo
) para evitar números grandes.
Passo 3
Calcular o denominador (total de amostras possíveis) passo a passo:
Faço as contas:
e
Logo
Passo 4
Calcular
(nenhum corpo com resistência abaixo do especificado):
- Número de maneiras de escolher
defeituosos: . - Número de maneiras de escolher
adequados: .
Calculo de:
Portanto
Passo 5
Calcular
:
-
. -
Número de casos favoráveis:.
Logo
Passo 6
Calcular
:
-
-
Número de casos favoráveis:.
Logo
Passo 7
Calcular
:
-
-
Número de casos favoráveis:.
Logo
Passo 8
Calcular
:
-
-
Número de casos favoráveis:.
Logo
Passo 9
Verificação rápida (sem cálculos detalhados): somando os numeradores obtidos
que é exatamente o denominador, então as probabilidades somam
— bom sinal que os cálculos estão consistentes.