(Valor: 10 pontos) Em uma obra de um edifício, quatro corpos de prova de concreto são selecionados aleatoriamente de um lote de ensaios. Sabe-se que cada corpo de prova pode ser classificado como: Adequado (A) ou com Resistência abaixo da especificada ®. No lote total existem 40 corpos de prova, dos quais 12 apresentam resistência abaixo da especificada. Encontre a FDP da variável aleatória X.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente para não perder o foco):
  • No lote total há 40 corpos de prova.
  • Desses, 12 estão com resistência abaixo da especificada (vou chamar isso de “sucesso” no contexto de detectar um problema; isto é, tipo R).
  • Os restantes 28 são adequados (tipo A).
  • Selecionam-se aleatoriamente 4 corpos de prova, sem reposição.
  • A variável aleatória X é o número de corpos com resistência abaixo da especificada (número de R) entre os 4 escolhidos.
    O que o problema pede: encontrar a função de probabilidade (FDP, ou seja, a distribuição de probabilidade discreta) de X, isto é, calcular P(X=k) para os possíveis valores de k.

Passo 2

Razão e ideia do método (explicação didática, passo a passo, sem pular etapas):
  • Como a seleção é sem reposição e cada corpo é classificado como R ou A, o número de R na amostra de tamanho 4 segue a distribuição hipergeométrica.
  • Intuição combinatória: para que ocorram exatamente k itens R na amostra de 4,
    • escolhemos k itens dentre os 12 defeituosos, e
    • escolhemos os 4-k restantes dentre os 28 adequados.
    • o número de maneiras favoráveis é \binom{12}{k}\binom{28}{4-k}.
    • o número total de amostras possíveis de tamanho 4 é \binom{40}{4}.
  • Portanto a fórmula geral da FDP é
P(X=k)=\dfrac{\binom{12}{k}\,\binom{28}{4-k}}{\binom{40}{4}}, \qquad k=0,1,2,3,4.
  • Aqui \binom{n}{r} (lê-se “n escolhe r”) é o coeficiente binomial definido por
\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!},
onde n! é o fatorial de n (produto n\cdot(n-1)\cdots1). Na prática, para calcular combinatórios pequenos é mais simples usar a forma em produtos (por exemplo \binom{40}{4}=\dfrac{40\cdot39\cdot38\cdot37}{4\cdot3\cdot2\cdot1}) para evitar números grandes.

Passo 3

Calcular o denominador (total de amostras possíveis) passo a passo:
\binom{40}{4}=\dfrac{40\cdot39\cdot38\cdot37}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Faço as contas:
40\cdot39=1560,\qquad 1560\cdot38=59280,\qquad 59280\cdot37=2\,193\,360,
e
4\cdot3\cdot2\cdot1=24.
Logo
\binom{40}{4}=\dfrac{2\,193\,360}{24}=91\,390.

Passo 4

Calcular P(X=0) (nenhum corpo com resistência abaixo do especificado):
  • Número de maneiras de escolher 0 defeituosos: \binom{12}{0}=1.
  • Número de maneiras de escolher 4 adequados: \binom{28}{4}.
    Calculo de \binom{28}{4}:
\binom{28}{4}=\dfrac{28\cdot27\cdot26\cdot25}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=\dfrac{491\,400}{24}=20\,475.
Portanto
P(X=0)=\dfrac{1\cdot20\,475}{91\,390}=\dfrac{20\,475}{91\,390}\approx 0,2242.

Passo 5

Calcular P(X=1):
  • \binom{12}{1}=12.
  • \binom{28}{3}=\dfrac{28\cdot27\cdot26}{3\cdot2\cdot1}=\dfrac{19\,656}{6}=3\,276.
    Número de casos favoráveis: 12\cdot3\,276=39\,312.
    Logo
P(X=1)=\dfrac{39\,312}{91\,390}\approx 0,4302.

Passo 6

Calcular P(X=2):
  • \binom{12}{2}=\dfrac{12\cdot11}{2}=66.
  • \binom{28}{2}=\dfrac{28\cdot27}{2}=378.
    Número de casos favoráveis: 66\cdot378=24\,948.
    Logo
P(X=2)=\dfrac{24\,948}{91\,390}\approx 0,2730.

Passo 7

Calcular P(X=3):
  • \binom{12}{3}=\dfrac{12\cdot11\cdot10}{3\cdot2\cdot1}=220.
  • \binom{28}{1}=28.
    Número de casos favoráveis: 220\cdot28=6\,160.
    Logo
P(X=3)=\dfrac{6\,160}{91\,390}\approx 0,0674.

Passo 8

Calcular P(X=4):
  • \binom{12}{4}=\dfrac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{24}=495.
  • \binom{28}{0}=1.
    Número de casos favoráveis: 495\cdot1=495.
    Logo
P(X=4)=\dfrac{495}{91\,390}\approx 0,0054.

Passo 9

Verificação rápida (sem cálculos detalhados): somando os numeradores obtidos
20\,475+39\,312+24\,948+6\,160+495=91\,390,
que é exatamente o denominador, então as probabilidades somam 1 — bom sinal que os cálculos estão consistentes.

Resposta

P(X=k)=\dfrac{\binom{12}{k}\,\binom{28}{4-k}}{\binom{40}{4}} para k=0,1,2,3,4.\n
P(X=0)=\dfrac{20\,475}{91\,390}\approx 0,2242\n
P(X=1)=\dfrac{39\,312}{91\,390}\approx 0,4302\n
P(X=2)=\dfrac{24\,948}{91\,390}\approx 0,2730\n
P(X=3)=\dfrac{6\,160}{91\,390}\approx 0,0674\n
P(X=4)=\dfrac{495}{91\,390}\approx 0,0054

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