(Valor: 10 pontos) Durante o controle tecnológico de uma obra de Engenharia Civil, seja X a variável aleatória que representa o número de defeitos identificados em uma amostra de peças pré-moldadas de concreto. A função de distribuição de probabilidade (FDP) de X é dada pela tabela a seguir:
0
1
2
3
4
5
a) Encontre o valor de
.
b) Calcule
e
.
c) Calcule
.
|
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b) Calcule
c) Calcule
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória discreta
cujo espaço de valores é
. A tabela de probabilidades fornecida informa, para cada
, o valor de
. Listei aqui as informações que o enunciado deu (copiei-as da tabela):
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
O enunciado pede três coisas:
a) encontrar o valor de ;
b) calcular e
;
c) calcular .
a) encontrar o valor de
b) calcular
c) calcular
Vou resolver passo a passo e explicar as fórmulas que uso.
Passo 2
Primeiro vamos achar
. Para qualquer função de probabilidade discreta válida, as probabilidades de todos os valores possíveis somam 1. Isso vem da definição de distribuição de probabilidade: a soma das probabilidades sobre todo o espaço amostral é 1. Em símbolos:
Aplicando isso à nossa tabela:
Substituindo as expressões em função de
:
Agora somamos termos semelhantes: há quatro termos
e dois termos em
que somam
. Logo obtemos a equação quadrática
Para resolver uma equação quadrática geral
usa-se a fórmula
Aqui
,
,
. Calculando o discriminante:
Logo as raízes são
Isso dá duas possibilidades:
ou
. Como
representa probabilidades (ou aparece dentro de probabilidades) deve ser um número entre
e
, portanto descartamos
. Concluímos:
Passo 3
Agora calculamos
. A definição de
para variáveis discretas é a soma das probabilidades dos valores
que satisfazem a condição, aqui
e
. Como
assume valores inteiros e os eventos
e
são disjuntos, a probabilidade do evento união é a soma das probabilidades:
Substituindo as probabilidades da tabela:
Substituindo
:
Se quiser em decimal,
.
Passo 4
Agora
. A definição:
significa
ou
. Como esses eventos são disjuntos,
Substituindo
:
Colocando em denominador comum:
Em decimal,
.
Passo 5
Por fim,
. Interpretando o evento:
significa que a distância entre
e
é pelo menos
. Para variável inteira isso equivale a
ou
(porque o único inteiro com
é
). Assim uma forma eficiente é usar a complementaridade:
. Como
ocorre somente para
, tem-se
Substituindo
:
Em decimal,
.
(Se preferir somar term por termo, dá o mesmo: somar as probabilidades de
resulta em
que com
também produz
.)