(Valor: 10 pontos) Durante o controle tecnológico de uma obra de Engenharia Civil, seja X a variável aleatória que representa o número de defeitos identificados em uma amostra de peças pré-moldadas de concreto. A função de distribuição de probabilidade (FDP) de X é dada pela tabela a seguir:
x 0 1 2 3 4 5
p_{X}(x) p^{2} 2 p p^{2} p p^{2} p^{2}
a) Encontre o valor de p.
b) Calcule P(X \geq 4) e P(X<2).
c) Calcule P(|X-2| \geq 1).

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória discreta X cujo espaço de valores é \{0,1,2,3,4,5\}. A tabela de probabilidades fornecida informa, para cada x, o valor de p_X(x). Listei aqui as informações que o enunciado deu (copiei-as da tabela):
  • P(X=0)=p^{2}.
  • P(X=1)=2p.
  • P(X=2)=p^{2}.
  • P(X=3)=p.
  • P(X=4)=p^{2}.
  • P(X=5)=p^{2}.
O enunciado pede três coisas:
a) encontrar o valor de p;
b) calcular P(X\ge 4) e P(X<2);
c) calcular P(|X-2|\ge 1).
Vou resolver passo a passo e explicar as fórmulas que uso.

Passo 2

Primeiro vamos achar p. Para qualquer função de probabilidade discreta válida, as probabilidades de todos os valores possíveis somam 1. Isso vem da definição de distribuição de probabilidade: a soma das probabilidades sobre todo o espaço amostral é 1. Em símbolos:
\sum_{x} P(X=x)=1.
Aplicando isso à nossa tabela:
P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=1.
Substituindo as expressões em função de p:
p^{2}+2p+p^{2}+p+p^{2}+p^{2}=1.
Agora somamos termos semelhantes: há quatro termos p^{2} e dois termos em p que somam 2p+p=3p. Logo obtemos a equação quadrática
4p^{2}+3p-1=0.
Para resolver uma equação quadrática geral ap^{2}+bp+c=0 usa-se a fórmula
p=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=4, b=3, c=-1. Calculando o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=3^{2}-4\cdot4\cdot(-1)=9+16=25.
Logo as raízes são
p=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2\cdot4}=\frac{-3\pm5}{8}.
Isso dá duas possibilidades: p=\dfrac{-3+5}{8}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4} ou p=\dfrac{-3-5}{8}=\dfrac{-8}{8}=-1. Como p representa probabilidades (ou aparece dentro de probabilidades) deve ser um número entre 0 e 1, portanto descartamos p=-1. Concluímos:
p=\dfrac{1}{4}.

Passo 3

Agora calculamos P(X\ge 4). A definição de P(X\ge 4) para variáveis discretas é a soma das probabilidades dos valores x que satisfazem a condição, aqui x=4 e x=5. Como X assume valores inteiros e os eventos \{X=4\} e \{X=5\} são disjuntos, a probabilidade do evento união é a soma das probabilidades:
P(X\ge 4)=P(X=4)+P(X=5).
Substituindo as probabilidades da tabela:
P(X\ge 4)=p^{2}+p^{2}=2p^{2}.
Substituindo p=\dfrac{1}{4}:
P(X\ge 4)=2\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}=2\cdot\dfrac{1}{16}=\dfrac{2}{16}=\dfrac{1}{8}.
Se quiser em decimal, \dfrac{1}{8}=0{,}125.

Passo 4

Agora P(X<2). A definição: X<2 significa X=0 ou X=1. Como esses eventos são disjuntos,
P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=p^{2}+2p.
Substituindo p=\dfrac{1}{4}:
P(X<2)=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}+2\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{16}+\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{2}.
Colocando em denominador comum:
P(X<2)=\dfrac{1}{16}+\dfrac{8}{16}=\dfrac{9}{16}.
Em decimal, \dfrac{9}{16}=0{,}5625.

Passo 5

Por fim, P(|X-2|\ge 1). Interpretando o evento: |X-2|\ge 1 significa que a distância entre X e 2 é pelo menos 1. Para variável inteira isso equivale a X\le 1 ou X\ge 3 (porque o único inteiro com |X-2|<1 é X=2). Assim uma forma eficiente é usar a complementaridade: P(|X-2|\ge 1)=1-P(|X-2|<1). Como |X-2|<1 ocorre somente para X=2, tem-se
P(|X-2|\ge 1)=1-P(X=2)=1-p^{2}.
Substituindo p=\dfrac{1}{4}:
P(|X-2|\ge 1)=1-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}=1-\dfrac{1}{16}=\dfrac{15}{16}.
Em decimal, \dfrac{15}{16}=0{,}9375.
(Se preferir somar term por termo, dá o mesmo: somar as probabilidades de X=0,1,3,4,5 resulta em 3p^{2}+3p que com p=\tfrac{1}{4} também produz \tfrac{15}{16}.)

Resposta

p=\dfrac{1}{4}
P(X\ge 4)=\dfrac{1}{8}
P(X<2)=\dfrac{9}{16}
P(|X-2|\ge 1)=\dfrac{15}{16}

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