Em laboratório, os múons parados decaem de acordo com a lei estatística da radioatividade
, sendo
o número de muons em
o tempo de vida média (
) e t o tempo. Um múon proveniente de radiação cósmica tem velocidade da ordem de
no referencial da Terra e dado
múons são produzidos na alta atmosfera terrestre
. Calcule.
(a) No referencial da Terra qual a distância que percorre o múon percorre com a velocidade descrita em seu tempo de vida média
?
(b) No referencial da Terra, qual o tempo de vida média do múon na velocidade dada?
(c) Aplique a lei da radioatividade para
múons que são produzidos na alta atmosfera, utilizando o valor do tempo obtido no item anterior.
(d) No referencial do múon, qual o tamanho da atmosfera terrestre?
(e) No referencial do múon, qual o seu tempo de vida média do múon na velocidade dada?
(f) Aplique a lei da radioatividade para
múons que são produzidos na alta atmosfera, utilizando o valor do tempo obtido no item anterior.
(g) Qual dos valores obtidos no item (c) ou (f) pode ser entendido como o número de múons que chegam ao nível do mar? Justifique.
(a) No referencial da Terra qual a distância que percorre o múon percorre com a velocidade descrita em seu tempo de vida média
(b) No referencial da Terra, qual o tempo de vida média do múon na velocidade dada?
(c) Aplique a lei da radioatividade para
(d) No referencial do múon, qual o tamanho da atmosfera terrestre?
(e) No referencial do múon, qual o seu tempo de vida média do múon na velocidade dada?
(f) Aplique a lei da radioatividade para
(g) Qual dos valores obtidos no item (c) ou (f) pode ser entendido como o número de múons que chegam ao nível do mar? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a lei de decaimento dos múons em seu referencial próprio:
com
,
múons produzidos a
de altura, e velocidade no referencial da Terra
. Para resolver precisamos de cinemática relativística (dilatação temporal e contração de comprimentos) e da aplicação da lei exponencial de decaimento em cada quadro.
Passo 2
No referencial da Terra, a distância que um múon percorre em seu tempo de vida média
é
Como
, resulta
Passo 3
O fator de Lorentz é
então
Passo 4
Ainda no referencial da Terra, a vida média dilatada é
Passo 5
Para chegada ao nível do mar o tempo de viagem no referencial da Terra é
Aplicando o decaimento com tempo próprio correspondente
, ou diretamente usando
, temos
Passo 6
No referencial do múon, a atmosfera sofre contração de comprimento:
Passo 7
No referencial do múon, seu próprio tempo de vida média continua sendo
Passo 8
Podemos verificar que o tempo de atravessar a atmosfera no referencial do múon é
que é praticamente igual a
, como era de se esperar.
Passo 9
Aplicando a lei de decaimento no referencial do múon com
:
Passo 10
Os valores de
calculado no referencial da Terra e
no referencial do múon coincidem, como deve ocorrer em coordenadas diferentes.
Resposta
(a)
\n(b)
\n(c)
\n(d)
\n(e)
\n(f)
\n(g) Ambos dão o mesmo número de múons que chegam ao mar, cerca de
, pois a sobrevivência é invariante de referencial.