Em laboratório, os múons parados decaem de acordo com a lei estatística da radioatividade N(t)=N_{0} e^{-t / \tau}, sendo N_{0} o número de muons em \mathrm{t}=0, \tau o tempo de vida média ( \tau \sim 2,2 \mu s ) e t o tempo. Um múon proveniente de radiação cósmica tem velocidade da ordem de v=0,9978 c no referencial da Terra e dado N_{0}=10^{8} múons são produzidos na alta atmosfera terrestre (\approx 10 \mathrm{~km}). Calcule.
(a) No referencial da Terra qual a distância que percorre o múon percorre com a velocidade descrita em seu tempo de vida média \mathrm{t}=\tau ?
(b) No referencial da Terra, qual o tempo de vida média do múon na velocidade dada?
(c) Aplique a lei da radioatividade para N_{0} múons que são produzidos na alta atmosfera, utilizando o valor do tempo obtido no item anterior.
(d) No referencial do múon, qual o tamanho da atmosfera terrestre?
(e) No referencial do múon, qual o seu tempo de vida média do múon na velocidade dada?
(f) Aplique a lei da radioatividade para N_{0} múons que são produzidos na alta atmosfera, utilizando o valor do tempo obtido no item anterior.
(g) Qual dos valores obtidos no item (c) ou (f) pode ser entendido como o número de múons que chegam ao nível do mar? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a lei de decaimento dos múons em seu referencial próprio:
N(t)=N_{0}e^{-t/\tau},
com \tau=2{,}2\,\mu\mathrm{s}, N_{0}=10^{8} múons produzidos a L_{0}=10\,\mathrm{km} de altura, e velocidade no referencial da Terra v=0{,}9978\,c. Para resolver precisamos de cinemática relativística (dilatação temporal e contração de comprimentos) e da aplicação da lei exponencial de decaimento em cada quadro.

Passo 2

No referencial da Terra, a distância que um múon percorre em seu tempo de vida média \tau é
d = v\,\tau = 0{,}9978\,c \times 2{,}2\times10^{-6}\,\mathrm{s}.
Como c=3{,}0\times10^{8}\,\mathrm{m/s}, resulta
d \approx 0{,}9978\times3{,}0\times10^{8}\times2{,}2\times10^{-6}\,\mathrm{m}\approx6,58\times10^{2}\,\mathrm{m}.

Passo 3

O fator de Lorentz é
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}},\quad \beta=\frac{v}{c}=0{,}9978,
então
1-\beta^{2}=1-0{,}9978^{2}\approx4{,}395\times10^{-3},\quad \gamma\approx\frac{1}{\sqrt{4{,}395\times10^{-3}}}\approx15{,}1.

Passo 4

Ainda no referencial da Terra, a vida média dilatada é
\tau_{\text{lab}}=\gamma\,\tau\approx15{,}1\times2{,}2\,\mu\mathrm{s}\approx33{,}2\,\mu\mathrm{s}.

Passo 5

Para chegada ao nível do mar o tempo de viagem no referencial da Terra é
t_{\text{trav}}=\frac{L_{0}}{v}=\frac{10\,000\,\mathrm{m}}{0{,}9978\,c}\approx\frac{10^{4}}{0{,}9978\times3\times10^{8}}\,\mathrm{s}\approx33{,}4\,\mu\mathrm{s}.
Aplicando o decaimento com tempo próprio correspondente t_{\text{prop}}=t_{\text{trav}}/\gamma, ou diretamente usando \tau_{\text{lab}}=\gamma\tau, temos
N_{\text{chegam}} = N_{0}\exp\bigl(-\,\frac{t_{\text{trav}}}{\tau_{\text{lab}}}\bigr) =10^{8}\exp\bigl(-\frac{33{,}4}{33{,}2}\bigr) \approx10^{8}e^{-1{,}006}\approx3{,}65\times10^{7}.

Passo 6

No referencial do múon, a atmosfera sofre contração de comprimento:
L'=\frac{L_{0}}{\gamma}=\frac{10\,000\,\mathrm{m}}{15{,}1}\approx6,63\times10^{2}\,\mathrm{m}.

Passo 7

No referencial do múon, seu próprio tempo de vida média continua sendo
\tau=2{,}2\,\mu\mathrm{s}.

Passo 8

Podemos verificar que o tempo de atravessar a atmosfera no referencial do múon é
t'=\frac{L'}{v}\approx\frac{6,63\times10^{2}}{0{,}9978\times3\times10^{8}}\,\mathrm{s}\approx2{,}22\,\mu\mathrm{s},
que é praticamente igual a \tau, como era de se esperar.

Passo 9

Aplicando a lei de decaimento no referencial do múon com t' \approx\tau:
N'=N_{0}\exp\bigl(-\frac{t'}{\tau}\bigr) \approx10^{8}e^{-1}\approx3{,}68\times10^{7}.

Passo 10

Os valores de N_{\text{chegam}} calculado no referencial da Terra e N' no referencial do múon coincidem, como deve ocorrer em coordenadas diferentes.

Resposta

(a) d \approx 6,58 \times 10^{2} \, \mathrm{m}.\n(b) \tau_{\text{lab}} \approx 33,2 \, \mu\mathrm{s}.\n(c) N(10 \, \mathrm{km}) \approx 3,65 \times 10^{7}.\n(d) L' = \frac{10\,000 \, \mathrm{m}}{15{,}1} \approx 6,63 \times 10^{2} \, \mathrm{m}.\n(e) \tau = 2{,}2 \, \mu\mathrm{s}.\n(f) N' = 10^{8} e^{-1} \approx 3,68 \times 10^{7}.\n(g) Ambos dão o mesmo número de múons que chegam ao mar, cerca de 3,7 \times 10^{7}, pois a sobrevivência é invariante de referencial.

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