Um laboratório quer produzir um composto que tenha, em cada 100 gramas, 14 unidades de vitamina A, 47 unidades de vitamina \mathrm{B} 12,25 unidades de vitamina C e 37 unidades de vitamina E . Na análise de quatro substâncias para fazer o composto, considerando para todas a mesma quantidade, constatou-se que:
A substância X tem 1 unidade de vitamina A, 2 unidades de vitamina B 12,2 de vitamina C e 1 de vitamina E.
A substância Y tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B12, 2 de vitamina C e 5 de vitamina E.
A substância Z tem 1 unidade de vitamina A, 4 unidades de vitamina B12, 1 de vitamina C e 2 de vitamina E.
A substância W tem 1 unidade de vitamina A, 5 unidades de vitamina B12, 3 de vitamina C e 4 de vitamina E.
Determine a quantidade a ser utilizada (em gramas) das substâncias \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} \mathrm{e} \mathrm{w}, para se obter o composto.

Passo 1

O enunciado pede determinar as quantidades (em gramas) das substâncias x,\\ y,\\ z,\\ w que devem ser misturadas para obter, em cada 100 gramas do composto final, as quantidades de vitaminas indicadas. Informações importantes fornecidas:
  • Composição desejada por 100 g do composto final:
    • vitamina A: 14 unidades,
    • vitamina B12: 47 unidades,
    • vitamina C: 25 unidades,
    • vitamina E: 37 unidades.
  • Para a mesma quantidade (ou seja, unidades comparáveis) das quatro substâncias, as unidades de vitaminas medidas em cada uma são:
    • Substância X: 1 (A), 2 (B12), 2 (C), 1 (E).
    • Substância Y: 1 (A), 3 (B12), 2 (C), 5 (E).
    • Substância Z: 1 (A), 4 (B12), 1 (C), 2 (E).
    • Substância W: 1 (A), 5 (B12), 3 (C), 4 (E).
O que será resolvido: encontrar quantas gramas de X,\\ Y,\\ Z,\\ W (vou chamar as quantidades de x,\\ y,\\ z,\\ w, respectivamente) devem entrar na mistura para que as somas das contribuições de cada vitamina coincidam com as desejadas.

Passo 2

Definir variáveis e modelar o problema com equações lineares (a ideia: cada grama de uma substância contribui com uma certa quantidade de cada vitamina; somando as contribuições de todas as substâncias obtemos a quantidade total desejada).
Sejam x,\\ y,\\ z,\\ w as quantidades (em gramas) de X,\\ Y,\\ Z,\\ W usadas no composto.
Formulando as equações vitamina a vitamina (cada coeficiente é a unidade de vitamina por grama da respectiva substância — o enunciado deu essas unidades para “mesma quantidade”, que usamos como unidades por grama):
  • Vitamina A: cada substância dá 1 unidade por grama, então
x + y + z + w = 14.
(Aqui estamos impondo que a soma das contribuições de A seja 14.)
  • Vitamina B12:
2x + 3y + 4z + 5w = 47.
  • Vitamina C:
2x + 2y + z + 3w = 25.
  • Vitamina E:
x + 5y + 2z + 4w = 37.
Agora temos um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas:
\begin{cases} x + y + z + w = 14,\\[4pt] 2x + 3y + 4z + 5w = 47,\\[4pt] 2x + 2y + z + 3w = 25,\\[4pt] x + 5y + 2z + 4w = 37. \end{cases}]

Passo 3

Estratégia para resolver o sistema: eliminação por substituição/combinações lineares. Vou usar a primeira equação para eliminar x (ou reduzir o número de incógnitas) nas outras três equações, fazendo combinações simples e mantendo os cálculos fáceis para prova sem calculadora.
Começo subtraindo 2 vezes a equação (1) da equação (2), subtraindo 2 vezes (1) da (3), e subtraindo 1 vez de (1) da (4). Isso elimina x dessas equações.
Calcule cada combinação:
  • (2) - 2\cdot(1):
(2x+3y+4z+5w)-2(x+y+z+w)=47-28.
Ao simplificar:
y + 2z + 3w = 19.
Chamo essa equação de (2a).
  • (3) - 2\cdot(1):
(2x+2y+z+3w)-2(x+y+z+w)=25-28.
Ao simplificar:
- z + w = -3.
Chamo essa equação de (3a). Podemos rearranjar:
w = z - 3.
  • (4) - (1):
(x+5y+2z+4w)-(x+y+z+w)=37-14.
Ao simplificar:
4y + z + 3w = 23.
Chamo essa equação de (4a).
Agora o sistema reduzido é:
\begin{cases} y + 2z + 3w = 19,\\[4pt] w = z - 3,\\[4pt] 4y + z + 3w = 23. \end{cases}]

Passo 4

Substituir w em (2a) e (4a) usando w = z - 3 (isso reduz para duas equações em y e z).
Substituição em (2a):
y + 2z + 3(z - 3) = 19.
Simplificando:
y + 2z + 3z - 9 = 19 \quad\Rightarrow\quad y + 5z = 28.
Portanto
y = 28 - 5z.
Substituição em (4a):
4y + z + 3(z - 3) = 23.
Simplificando:
4y + z + 3z - 9 = 23 \quad\Rightarrow\quad 4y + 4z = 32.
Dividindo por 4:
y + z = 8.
Portanto
y = 8 - z.

Passo 5

Agora temos duas expressões para y:
y = 28 - 5z \quad\text{e}\quad y = 8 - z.
Igualando-as para encontrar z:
28 - 5z = 8 - z.
Isolando z:
28 - 8 = 5z - z \quad\Rightarrow\quad 20 = 4z \quad\Rightarrow\quad z = 5.
Com z=5, calcule y por y = 8 - z:
y = 8 - 5 = 3.
E calcule w por w = z - 3:
w = 5 - 3 = 2.

Passo 6

Calcular x usando a equação (1): x + y + z + w = 14.
Substituindo y=3,\\ z=5,\\ w=2:
x + 3 + 5 + 2 = 14 \quad\Rightarrow\quad x + 10 = 14 \quad\Rightarrow\quad x = 4.
Portanto os valores encontrados (antes da verificação) são x=4,\\ y=3,\\ z=5,\\ w=2.

Passo 7

Verificação rápida: substituir \;x=4,\\ y=3,\\ z=5,\\ w=2\; nas equações originais para garantir que todas sejam satisfeitas.
  • Vitamina A: x+y+z+w = 4+3+5+2 = 14. OK.
  • Vitamina B12: 2x+3y+4z+5w = 2\cdot4 + 3\cdot3 + 4\cdot5 + 5\cdot2 = 8 + 9 + 20 + 10 = 47. OK.
  • Vitamina C: 2x+2y+z+3w = 2\cdot4 + 2\cdot3 + 5 + 3\cdot2 = 8 + 6 + 5 + 6 = 25. OK.
  • Vitamina E: x+5y+2z+4w = 4 + 5\cdot3 + 2\cdot5 + 4\cdot2 = 4 + 15 + 10 + 8 = 37. OK.
Todas as equações conferem, então a solução está correta.

Resposta

x=4\\ \text{g}
y=3\\ \text{g}
z=5\\ \text{g}
w=2\\ \text{g}

Exercícios relacionados