Um laboratório quer produzir um composto que tenha, em cada 100 gramas, 14 unidades de vitamina A, 47 unidades de vitamina \mathrm{B} 12,25 unidades de vitamina C e 37 unidades de vitamina E . Na análise de quatro substâncias para fazer o composto, considerando para todas a mesma quantidade, constatou-se que:
A substância X tem 1 unidade de vitamina A, 2 unidades de vitamina B 12,2 de vitamina C e 1 de vitamina E.
A substância Y tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B12, 2 de vitamina C e 5 de vitamina E.
A substância Z tem 1 unidade de vitamina A, 4 unidades de vitamina B12, 1 de vitamina C e 2 de vitamina E.
A substância W tem 1 unidade de vitamina A, 5 unidades de vitamina B12, 3 de vitamina C e 4 de vitamina E.
Determine a quantidade a ser utilizada (em gramas) das substâncias \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} \mathrm{e} \mathrm{w}, para se obter o composto.
Passo 1
O enunciado pede determinar as quantidades (em gramas) das substâncias x,\\ y,\\ z,\\ w que devem ser misturadas para obter, em cada 100 gramas do composto final, as quantidades de vitaminas indicadas. Informações importantes fornecidas:
Composição desejada por 100 g do composto final:
vitamina A: 14 unidades,
vitamina B12: 47 unidades,
vitamina C: 25 unidades,
vitamina E: 37 unidades.
Para a mesma quantidade (ou seja, unidades comparáveis) das quatro substâncias, as unidades de vitaminas medidas em cada uma são:
Substância X: 1 (A), 2 (B12), 2 (C), 1 (E).
Substância Y: 1 (A), 3 (B12), 2 (C), 5 (E).
Substância Z: 1 (A), 4 (B12), 1 (C), 2 (E).
Substância W: 1 (A), 5 (B12), 3 (C), 4 (E).
O que será resolvido: encontrar quantas gramas de X,\\ Y,\\ Z,\\ W (vou chamar as quantidades de x,\\ y,\\ z,\\ w, respectivamente) devem entrar na mistura para que as somas das contribuições de cada vitamina coincidam com as desejadas.
Passo 2
Definir variáveis e modelar o problema com equações lineares (a ideia: cada grama de uma substância contribui com uma certa quantidade de cada vitamina; somando as contribuições de todas as substâncias obtemos a quantidade total desejada).
Sejam x,\\ y,\\ z,\\ w as quantidades (em gramas) de X,\\ Y,\\ Z,\\ W usadas no composto.
Formulando as equações vitamina a vitamina (cada coeficiente é a unidade de vitamina por grama da respectiva substância — o enunciado deu essas unidades para “mesma quantidade”, que usamos como unidades por grama):
Vitamina A: cada substância dá 1 unidade por grama, então
x + y + z + w = 14.
(Aqui estamos impondo que a soma das contribuições de A seja 14.)
Vitamina B12:
2x + 3y + 4z + 5w = 47.
Vitamina C:
2x + 2y + z + 3w = 25.
Vitamina E:
x + 5y + 2z + 4w = 37.
Agora temos um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas:
\begin{cases} x + y + z + w = 14,\\[4pt] 2x + 3y + 4z + 5w = 47,\\[4pt] 2x + 2y + z + 3w = 25,\\[4pt] x + 5y + 2z + 4w = 37. \end{cases}]
Passo 3
Estratégia para resolver o sistema: eliminação por substituição/combinações lineares. Vou usar a primeira equação para eliminar x (ou reduzir o número de incógnitas) nas outras três equações, fazendo combinações simples e mantendo os cálculos fáceis para prova sem calculadora.
Começo subtraindo 2 vezes a equação (1) da equação (2), subtraindo 2 vezes (1) da (3), e subtraindo 1 vez de (1) da (4). Isso elimina x dessas equações.
Calcule cada combinação:
(2) -2\cdot(1):
(2x+3y+4z+5w)-2(x+y+z+w)=47-28.
Ao simplificar:
y + 2z + 3w = 19.
Chamo essa equação de (2a).
(3) -2\cdot(1):
(2x+2y+z+3w)-2(x+y+z+w)=25-28.
Ao simplificar:
- z + w = -3.
Chamo essa equação de (3a). Podemos rearranjar:
w = z - 3.
(4) - (1):
(x+5y+2z+4w)-(x+y+z+w)=37-14.
Ao simplificar:
4y + z + 3w = 23.
Chamo essa equação de (4a).
Agora o sistema reduzido é:
\begin{cases} y + 2z + 3w = 19,\\[4pt] w = z - 3,\\[4pt] 4y + z + 3w = 23. \end{cases}]
Passo 4
Substituir w em (2a) e (4a) usando w = z - 3 (isso reduz para duas equações em y e z).
Substituição em (2a):
y + 2z + 3(z - 3) = 19.
Simplificando:
y + 2z + 3z - 9 = 19 \quad\Rightarrow\quad y + 5z = 28.