Justifique por que os determinantes a seguir, são nulos:
\left|\begin{array}{ccc}-4 & 1 & 2 \\\\ 2 & 0 & -1 \\\\ -6 & 2 & 3\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para justificar por que o determinante
\left|\begin{array}{ccc} -4 & 1 & 2 \\\\ 2 & 0 & -1 \\\\ -6 & 2 & 3 \end{array}\right|
é nulo. Vou listar claramente os dados: a matriz é a matriz 3\times3 cujas colunas (escrevendo em forma de vetor coluna) são
C_1=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]2\\[4pt]-6\end{pmatrix},\qquad C_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad C_3=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
A tarefa é justificar (explicar matematicamente) por que o determinante dessa matriz vale zero.]

Passo 2

Lembrete teórico e estratégia (explicado passo a passo):
  • Definição intuitiva: colunas (ou linhas) de uma matriz são linearmente dependentes se existe uma combinação linear não trivial (algum coeficiente diferente de zero) que produz o vetor nulo.
  • Teorema útil (que vamos usar): se as colunas (ou as linhas) de uma matriz quadrada são linearmente dependentes, então o determinante dessa matriz é zero. Essa é uma propriedade fundamental dos determinantes.
  • Portanto a estratégia é mostrar que existe uma relação linear não trivial entre C_1,C_2,C_3. Se encontrarmos, já garantimos que o determinante se anula.

Passo 3

Tentar achar uma relação simples entre as colunas: verificar se alguma coluna é múltiplo escalar de outra (isso é a forma mais rápida de detectar dependência linear).
Calculo -\tfrac{1}{2}C_1:
-\tfrac{1}{2}C_1 = -\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-4\\[4pt]2\\[4pt]-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2}\cdot(-4) \\[4pt] -\tfrac{1}{2}\cdot 2 \\[4pt] -\tfrac{1}{2}\cdot(-6)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Comparando com C_3 vemos que
-\tfrac{1}{2}C_1 = C_3.
Ou seja, C_3 é exatamente um múltiplo escalar de C_1. Isso é uma relação linear não trivial entre as colunas (os coeficientes seriam -\tfrac{1}{2} para C_1, 0 para C_2 e -1 para C_3, por exemplo), mostrando que as colunas são linearmente dependentes.

Passo 5

Pela propriedade citada no Passo 2 (colunas linearmente dependentes implicam determinante zero), concluímos que o determinante da matriz dada é nulo.

Passo 6

Verificação direta (checagem rápida com a fórmula do determinante 3\times3) para confirmar:
Seja a matriz com entradas a=-4, b=1, c=2; d=2, e=0, f=-1; g=-6, h=2, i=3. O determinante é
\det = a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Calculando:
ei-fh = 0\cdot3 - (-1)\cdot2 = 2,
di-fg = 2\cdot3 - (-6)\cdot(-1) = 6-6 = 0,
dh-eg = 2\cdot2 - 0\cdot(-6) = 4.
Portanto
\det = (-4)\cdot 2 - 1\cdot 0 + 2\cdot 4 = -8 + 0 + 8 = 0,
o que confirma numericamente a conclusão obtida pela dependência linear.

Resposta

0

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