Em um laboratório químico, sabe-se que ocorrem, em média, 5 contaminações por hora em um determinado processo experimental. Pergunta-se:
a) Indique o modelo probabilístico adequado para X .
b) Calcule a probabilidade de ocorrerem entre 3 e 5 contaminações em uma hora, inclusive.
c) Se, em uma hora, forem observadas 11 contaminações por hora, indica possível problema no processo? Justifique.
a) Indique o modelo probabilístico adequado para X .
b) Calcule a probabilidade de ocorrerem entre 3 e 5 contaminações em uma hora, inclusive.
c) Se, em uma hora, forem observadas 11 contaminações por hora, indica possível problema no processo? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a informação principal e pede três coisas. Informações dadas:
- Em média ocorrem
contaminações por hora no processo (isto é a taxa média).
Perguntas do enunciado:
a) Indicar o modelo probabilístico adequado para (o número de contaminações em uma hora).
b) Calcular a probabilidade de ocorrerem entre e
contaminações em uma hora, inclusive, isto é
.
c) Se, numa hora, foram observadas contaminações, indicar se isso sugere um possível problema no processo e justificar.
a) Indicar o modelo probabilístico adequado para
b) Calcular a probabilidade de ocorrerem entre
c) Se, numa hora, foram observadas
Passo 2
Escolhendo o modelo: por que usar Poisson? Vou explicar devagarinho, sem pressa. A distribuição de Poisson é indicada quando contamos o número de ocorrências de um evento em um intervalo de tempo (ou espaço) sob estas condições (que aqui se aplicam): ocorrências são raras, ocorrem independentemente e há uma taxa média constante no intervalo. Como o enunciado dá uma média de
contaminações por hora e pede o número de contaminações em uma hora, o modelo natural é a distribuição de Poisson com parâmetro
igual à média.
Definição e fórmula (aula curtinha): se
tem distribuição de Poisson com parâmetro
então a probabilidade de ocorrer exatamente
eventos é
Aqui
é a média (esperança) e também a variância:
.
No nosso caso,
. Logo a resposta da parte (a) é:
Poisson(
).
Passo 3
Parte (b): calcular
.
Primeiro escrevo a probabilidade como soma de probabilidades pontuais:
Usando a fórmula de Poisson com
:
Para não reescrever longos fatores com
, vou calcular as probabilidades numericamente usando a relação recursiva útil:
Começo por
. Numérico aproximado (apenas para cálculo):
Agora uso a relação recursiva para achar
:
Passo 4
Somando os três termos para obter
:
Arredondando,
(ou
). Uma observação amiga: quase metade das horas terá entre 3 e 5 contaminações — é uma faixa bem provável para
.
Passo 5
Parte (c): avaliar se observar
contaminações em uma hora indica problema.
Raciocínio estatístico: sob o modelo Poisson(
), a probabilidade de observar um valor tão extremo quanto
(ou maior) é a probabilidade de cauda direita
Se essa probabilidade for muito pequena (por exemplo menor que um limiar usual como
), então observar
seria muito improvável sob a hipótese de que o processo está funcionando normalmente com média
, e isso sugere investigar um problema no processo.
Para calcular numericamente
uso duas estratégias equivalentes: continuar a recursão para obter
, somar até
e fazer
. Já temos até
. Continuando a recursão:
Agora somo
até
(valores já calculados):
Então
Arredondando,
(ou
).
Interpretação final (rápida e direta): observar
contaminações numa hora tem probabilidade cerca de
se a média verdadeira for
. Isso é bem raro; usando um critério comum de significância de
, esse resultado é significativo (isto é, improvável sob o modelo normal) e, portanto, sugere que pode haver um problema no processo que aumentou a taxa de contaminações — recomenda-se investigar. Se preferir um critério mais rigoroso (por exemplo
), aí a decisão depende do limiar adotado; com
poderia ser marginal conforme o critério.]
Resposta
a)
Poisson
b) (aprox.
)
c) Sim. (aprox.
), ou seja
, muito baixa; com nível de
indica possível problema no processo.
b)
c) Sim.