Em um laboratório químico, sabe-se que ocorrem, em média, 5 contaminações por hora em um determinado processo experimental. Pergunta-se:
a) Indique o modelo probabilístico adequado para X .
b) Calcule a probabilidade de ocorrerem entre 3 e 5 contaminações em uma hora, inclusive.
c) Se, em uma hora, forem observadas 11 contaminações por hora, indica possível problema no processo? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a informação principal e pede três coisas. Informações dadas:
  • Em média ocorrem \,5 contaminações por hora no processo (isto é a taxa média).
Perguntas do enunciado:
a) Indicar o modelo probabilístico adequado para X (o número de contaminações em uma hora).
b) Calcular a probabilidade de ocorrerem entre 3 e 5 contaminações em uma hora, inclusive, isto é \mathbb{P}(3\le X\le 5).
c) Se, numa hora, foram observadas 11 contaminações, indicar se isso sugere um possível problema no processo e justificar.

Passo 2

Escolhendo o modelo: por que usar Poisson? Vou explicar devagarinho, sem pressa. A distribuição de Poisson é indicada quando contamos o número de ocorrências de um evento em um intervalo de tempo (ou espaço) sob estas condições (que aqui se aplicam): ocorrências são raras, ocorrem independentemente e há uma taxa média constante no intervalo. Como o enunciado dá uma média de \,5 contaminações por hora e pede o número de contaminações em uma hora, o modelo natural é a distribuição de Poisson com parâmetro \lambda igual à média.
Definição e fórmula (aula curtinha): se X tem distribuição de Poisson com parâmetro \lambda>0 então a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos é
\mathbb{P}(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},\qquad k=0,1,2,\dots
Aqui \lambda é a média (esperança) e também a variância: \mathbb{E}[X]=\operatorname{Var}(X)=\lambda.
No nosso caso, \lambda=5. Logo a resposta da parte (a) é: X\sim Poisson( \lambda=5).

Passo 3

Parte (b): calcular \mathbb{P}(3\le X\le 5).
Primeiro escrevo a probabilidade como soma de probabilidades pontuais:
\mathbb{P}(3\le X\le 5)=\mathbb{P}(X=3)+\mathbb{P}(X=4)+\mathbb{P}(X=5).
Usando a fórmula de Poisson com \lambda=5:
\mathbb{P}(X=k)=e^{-5}\frac{5^{k}}{k!}.
Para não reescrever longos fatores com e^{-5}, vou calcular as probabilidades numericamente usando a relação recursiva útil:
\mathbb{P}(X=k+1)=\mathbb{P}(X=k)\cdot\frac{\lambda}{k+1}.
Começo por \mathbb{P}(X=0)=e^{-5}. Numérico aproximado (apenas para cálculo):
\mathbb{P}(X=0)=e^{-5}\approx 0,006737947.
Agora uso a relação recursiva para achar \mathbb{P}(X=1),\dots,\mathbb{P}(X=5):
\begin{aligned} \mathbb{P}(X=1)&=\mathbb{P}(X=0)\cdot\frac{5}{1}\approx 0,033689735,\\[4pt] \mathbb{P}(X=2)&=\mathbb{P}(X=1)\cdot\frac{5}{2}\approx 0,084224337,\\[4pt] \mathbb{P}(X=3)&=\mathbb{P}(X=2)\cdot\frac{5}{3}\approx 0,140373895,\\[4pt] \mathbb{P}(X=4)&=\mathbb{P}(X=3)\cdot\frac{5}{4}\approx 0,175467369,\\[4pt] \mathbb{P}(X=5)&=\mathbb{P}(X=4)\cdot\frac{5}{5}\approx 0,175467369. \end{aligned}]

Passo 4

Somando os três termos para obter \mathbb{P}(3\le X\le 5):
\mathbb{P}(3\le X\le 5)=0,140373895+0,175467369+0,175467369\approx 0,491308633.
Arredondando, \mathbb{P}(3\le X\le 5)\approx 0,4913 (ou 49{,}13\%). Uma observação amiga: quase metade das horas terá entre 3 e 5 contaminações — é uma faixa bem provável para \lambda=5.

Passo 5

Parte (c): avaliar se observar 11 contaminações em uma hora indica problema.
Raciocínio estatístico: sob o modelo Poisson( \lambda=5), a probabilidade de observar um valor tão extremo quanto 11 (ou maior) é a probabilidade de cauda direita
\mathbb{P}(X\ge 11)=\sum_{k=11}^{\infty}\mathbb{P}(X=k).
Se essa probabilidade for muito pequena (por exemplo menor que um limiar usual como 0{,}05), então observar 11 seria muito improvável sob a hipótese de que o processo está funcionando normalmente com média 5, e isso sugere investigar um problema no processo.
Para calcular numericamente \mathbb{P}(X\ge 11) uso duas estratégias equivalentes: continuar a recursão para obter \mathbb{P}(X=6),\dots,\mathbb{P}(X=10), somar até 10 e fazer 1-\mathbb{P}(X\le 10). Já temos até \mathbb{P}(X=5). Continuando a recursão:
\begin{aligned} \mathbb{P}(X=6)&=\mathbb{P}(X=5)\cdot\frac{5}{6}\approx 0,146222808,\\[4pt] \mathbb{P}(X=7)&\approx 0,104444863,\\[4pt] \mathbb{P}(X=8)&\approx 0,065278039,\\[4pt] \mathbb{P}(X=9)&\approx 0,036265577,\\[4pt] \mathbb{P}(X=10)&\approx 0,018132789. \end{aligned}
Agora somo \mathbb{P}(X=0) até \mathbb{P}(X=10) (valores já calculados):
\mathbb{P}(X\le 10)\approx 0,986304728.
Então
\mathbb{P}(X\ge 11)=1-\mathbb{P}(X\le 10)\approx 1-0,986304728=0,013695272.
Arredondando, \mathbb{P}(X\ge 11)\approx 0,0137 (ou 1{,}37\%).
Interpretação final (rápida e direta): observar 11 contaminações numa hora tem probabilidade cerca de 1{,}37\% se a média verdadeira for \,5. Isso é bem raro; usando um critério comum de significância de 5\%, esse resultado é significativo (isto é, improvável sob o modelo normal) e, portanto, sugere que pode haver um problema no processo que aumentou a taxa de contaminações — recomenda-se investigar. Se preferir um critério mais rigoroso (por exemplo 1\%), aí a decisão depende do limiar adotado; com 1{,}37\%>1{,}0\% poderia ser marginal conforme o critério.]

Resposta

a) X\sim Poisson (\lambda=5)
b) \mathbb{P}(3\le X\le 5)\approx 0,491308633 (aprox. 0,4913)
c) Sim. \mathbb{P}(X\ge 11)\approx 0,013695272 (aprox. 0,0137), ou seja 1{,}37\%, muito baixa; com nível de 5\% indica possível problema no processo.

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