Em um laboratório farmacêutico, a concentração de princípio ativo em determinado medicamento é monitorada continuamente para garantir a qualidade da produção. Estudos anteriores indicam que a concentração segue aproximadamente uma distribuição Normal com média de 500 mg e
desvio padrão de 12 mg . Seja
a concentração de princípio ativo, em mg, observada em um comprimido selecionado aleatoriamente. Pergunta-se:
a) Indique o modelo probabilístico adequado para X .
b) Calcule a probabilidade de a concentração estar entre 495 mg e 510 mg .
c) Determine o valor
tal que
dos comprimidos apresentem concentração inferior a esse valor.
d) Durante uma inspeção, foi encontrado um comprimido com concentração de 540 mg . Com base na distribuição do processo, discuta se esse resultado parece compatível com o comportamento esperado da produção ou se pode indicar possível problema no controle de qualidade.
desvio padrão de 12 mg . Seja
a) Indique o modelo probabilístico adequado para X .
b) Calcule a probabilidade de a concentração estar entre 495 mg e 510 mg .
c) Determine o valor
d) Durante uma inspeção, foi encontrado um comprimido com concentração de 540 mg . Com base na distribuição do processo, discuta se esse resultado parece compatível com o comportamento esperado da produção ou se pode indicar possível problema no controle de qualidade.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo exatamente como está no problema):
-
Dados fornecidos:
- A concentração de princípio ativo segue aproximadamente uma distribuição Normal com média
mg e desvio padrão mg. - Seja
a concentração (em mg) de um comprimido selecionado aleatoriamente.
- A concentração de princípio ativo segue aproximadamente uma distribuição Normal com média
-
Perguntas pedidas:
a) Indicar o modelo probabilístico adequado para.
b) Calcular a probabilidade de a concentração estar entremg e mg.
c) Determinar o valortal que dos comprimidos apresentem concentração inferior a esse valor (ou seja, o percentil de ).
d) Dado um comprimido com concentraçãomg encontrado na inspeção, discutir se esse resultado é compatível com o comportamento esperado da produção ou se pode indicar problema no controle de qualidade.
Passo 2
Resposta da alínea (a) com explicação do que isso significa.
- O modelo adequado é a distribuição Normal com os parâmetros dados. Escrevemos isso em notação padrão como
onde:
-
é a média (valor esperado) da distribuição, -
é o desvio padrão, -
é a variância. -
Substituindo os valores do enunciado, o modelo é
Explicando didaticamente: dizer que
tem essa distribuição significa que as concentrações se comportam como uma campânula simétrica em torno de
mg, com a dispersão típica medida por
mg. A maioria das observações fica dentro de algumas unidades de
da média.
Passo 3
Calcular a probabilidade pedida na alínea (b):
. Vou ensinar a técnica padrão: padronização para a Normal Padrão.
- Definição útil: se
, então a variável padronizada
tem distribuição Normal Padrão, isto é
. A vantagem é que existe uma tabela (ou calculadora) para
, com função de distribuição
.
-
Aplicando aos limites:
- Para
:
- Para
:
- Para
-
A probabilidade que queremos é
-
Usando propriedades da Normal Padrão (simetria):
. Então . -
Consultando uma tabela da Normal Padrão (ou usando interpolação simple): valores aproximados
-
(interpolando entre e ). -
(interpolando entre e ).
-
-
Portanto
Comentário prático: isso significa que aproximadamente
dos comprimidos têm concentração entre
mg e
mg.
Passo 4
Resolver a alínea (c): determinar o valor
tal que
(percentil
).
- Procedimento: primeiro encontrar o quantil correspondente na Normal Padrão, isto é o valor
tal que . Da tabela da Normal Padrão sabe-se (valor padrão usado comumente) que
- Reescrevendo em termos de
:
- Substituindo
, e :
- Interpretação: cerca de
dos comprimidos têm concentração menor que aproximadamente mg.
Passo 5
Análise da alínea (d): avaliar se um comprimido com
mg é compatível com o processo.
- Primeiro calculo o z-score:
- A probabilidade de observar um comprimido com concentração igual ou maior que
mg é
Usando tabela/aproximação para cauda da Normal,
, logo
ou seja aproximadamente
(quatro centésimos de porcento).
- Interpretação prática e recomendação:
- Esse evento é extremamente raro segundo o modelo assumido (probabilidade muito pequena). Outra maneira de ver:
mg está a mais de da média ( mg, e ), mais precisamente . - Em controle de qualidade costuma-se ficar atento a observações além de
porque indicam outliers ou problemas. Aqui a chance de ver um comprimido assim sob operação normal é da ordem de — muito baixa. - Conclusão prática: um comprimido com
mg não parece compatível com o comportamento esperado do processo; é um sinal que justifica investigação (verificar se houve erro de medição, contaminação, problema na dosagem, lote específico etc.). Se apenas um comprimido entre muitos for assim, pode ser um outlier experimental; se aparecerem mais casos, é forte indício de problema no controle de qualidade.
- Esse evento é extremamente raro segundo o modelo assumido (probabilidade muito pequena). Outra maneira de ver:
Resposta
a)
b) (aprox.
)
c) (percentil de
)
d) Não parece compatível: (≈
), muito pequeno — indica possível problema ou necessidade de investigação.
b)
c)
d) Não parece compatível: