Em um laboratório farmacêutico, a concentração de princípio ativo em determinado medicamento é monitorada continuamente para garantir a qualidade da produção. Estudos anteriores indicam que a concentração segue aproximadamente uma distribuição Normal com média de 500 mg e
desvio padrão de 12 mg . Seja X a concentração de princípio ativo, em mg, observada em um comprimido selecionado aleatoriamente. Pergunta-se:
a) Indique o modelo probabilístico adequado para X .
b) Calcule a probabilidade de a concentração estar entre 495 mg e 510 mg .
c) Determine o valor x tal que 95 \% dos comprimidos apresentem concentração inferior a esse valor.
d) Durante uma inspeção, foi encontrado um comprimido com concentração de 540 mg . Com base na distribuição do processo, discuta se esse resultado parece compatível com o comportamento esperado da produção ou se pode indicar possível problema no controle de qualidade.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo exatamente como está no problema):
  • Dados fornecidos:
    • A concentração de princípio ativo segue aproximadamente uma distribuição Normal com média 500 mg e desvio padrão 12 mg.
    • Seja X a concentração (em mg) de um comprimido selecionado aleatoriamente.
  • Perguntas pedidas:
    a) Indicar o modelo probabilístico adequado para X.
    b) Calcular a probabilidade de a concentração estar entre 495 mg e 510 mg.
    c) Determinar o valor x tal que 95\% dos comprimidos apresentem concentração inferior a esse valor (ou seja, o percentil de 95\%).
    d) Dado um comprimido com concentração 540 mg encontrado na inspeção, discutir se esse resultado é compatível com o comportamento esperado da produção ou se pode indicar problema no controle de qualidade.

Passo 2

Resposta da alínea (a) com explicação do que isso significa.
  • O modelo adequado é a distribuição Normal com os parâmetros dados. Escrevemos isso em notação padrão como
X \sim N(\mu,\sigma^{2})
onde:
  • \mu é a média (valor esperado) da distribuição,
  • \sigma é o desvio padrão,
  • \sigma^{2} é a variância.
  • Substituindo os valores do enunciado, o modelo é
X \sim N(500,\,12^{2}).
Explicando didaticamente: dizer que X tem essa distribuição significa que as concentrações se comportam como uma campânula simétrica em torno de 500 mg, com a dispersão típica medida por 12 mg. A maioria das observações fica dentro de algumas unidades de \sigma da média.

Passo 3

Calcular a probabilidade pedida na alínea (b): P(495 \le X \le 510). Vou ensinar a técnica padrão: padronização para a Normal Padrão.
  • Definição útil: se X \sim N(\mu,\sigma^{2}), então a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
tem distribuição Normal Padrão, isto é Z\sim N(0,1). A vantagem é que existe uma tabela (ou calculadora) para Z, com função de distribuição \Phi(z)=P(Z\le z).
  • Aplicando aos limites:
    • Para X=495:
    z_{1}=\frac{495-500}{12}=\frac{-5}{12}=-0{,}416666\ldots \approx -0{,}4167.
    • Para X=510:
    z_{2}=\frac{510-500}{12}=\frac{10}{12}=0{,}833333\ldots \approx 0{,}8333.
  • A probabilidade que queremos é
P(495\le X\le 510)=P\big(z_{1}\le Z\le z_{2}\big)=\Phi(z_{2})-\Phi(z_{1}).
  • Usando propriedades da Normal Padrão (simetria): \Phi(-a)=1-\Phi(a). Então \Phi(z_{1})=\Phi(-0{,}4167)=1-\Phi(0{,}4167).
  • Consultando uma tabela da Normal Padrão (ou usando interpolação simple): valores aproximados
    • \Phi(0{,}4167)\approx 0{,}6616 (interpolando entre \Phi(0{,}41)=0{,}6591 e \Phi(0{,}42)=0{,}6628).
    • \Phi(0{,}8333)\approx 0{,}7976 (interpolando entre \Phi(0{,}83)=0{,}7967 e \Phi(0{,}84)=0{,}7995).
  • Portanto
\Phi(z_{1})=1-\Phi(0{,}4167)\approx 1-0{,}6616=0{,}3384,
\Phi(z_{2})\approx 0{,}7976,
P(495\le X\le 510)\approx 0{,}7976-0{,}3384=0{,}4592.
Comentário prático: isso significa que aproximadamente 45{,}92\% dos comprimidos têm concentração entre 495 mg e 510 mg.

Passo 4

Resolver a alínea (c): determinar o valor x tal que P(X\le x)=0{,}95 (percentil 95\%).
  • Procedimento: primeiro encontrar o quantil correspondente na Normal Padrão, isto é o valor z_{0{,}95} tal que \Phi(z_{0{,}95})=0{,}95. Da tabela da Normal Padrão sabe-se (valor padrão usado comumente) que
z_{0{,}95}\approx 1{,}645.
  • Reescrevendo em termos de X:
\frac{x-\mu}{\sigma}=z_{0{,}95}\quad\Rightarrow\quad x=\mu+z_{0{,}95}\sigma.
  • Substituindo \mu=500, \sigma=12 e z_{0{,}95}=1{,}645:
x=500+1{,}645\times 12=500+19{,}74=519{,}74\\ \text{mg}.
  • Interpretação: cerca de 95\% dos comprimidos têm concentração menor que aproximadamente 519{,}74 mg.

Passo 5

Análise da alínea (d): avaliar se um comprimido com 540 mg é compatível com o processo.
  • Primeiro calculo o z-score:
z=\frac{540-500}{12}=\frac{40}{12}=3{,}33333\ldots \approx 3{,}3333.
  • A probabilidade de observar um comprimido com concentração igual ou maior que 540 mg é
P(X\ge 540)=1-\Phi(3{,}3333).
Usando tabela/aproximação para cauda da Normal, \Phi(3{,}33)\approx 0{,}99957, logo
P(X\ge 540)\approx 1-0{,}99957=0{,}00043,
ou seja aproximadamente 0{,}043\% (quatro centésimos de porcento).
  • Interpretação prática e recomendação:
    • Esse evento é extremamente raro segundo o modelo assumido (probabilidade muito pequena). Outra maneira de ver: 540 mg está a mais de 3\sigma da média ( 3\sigma=36 mg, e 540=500+40), mais precisamente 3{,}33\sigma.
    • Em controle de qualidade costuma-se ficar atento a observações além de 3\sigma porque indicam outliers ou problemas. Aqui a chance de ver um comprimido assim sob operação normal é da ordem de 0{,}00043 — muito baixa.
    • Conclusão prática: um comprimido com 540 mg não parece compatível com o comportamento esperado do processo; é um sinal que justifica investigação (verificar se houve erro de medição, contaminação, problema na dosagem, lote específico etc.). Se apenas um comprimido entre muitos for assim, pode ser um outlier experimental; se aparecerem mais casos, é forte indício de problema no controle de qualidade.

Resposta

a) X \sim N(500,\,12^{2})
b) P(495\le X\le 510)\approx 0{,}4592 (aprox. 45{,}92\%)
c) x\approx 519{,}74\\ \mathrm{mg} (percentil de 95\%)
d) Não parece compatível: P(X\ge 540)\approx 0{,}00043 (≈ 0{,}043\%), muito pequeno — indica possível problema ou necessidade de investigação.

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