Um laboratório de resistência de materiais obteve as seguintes resistências de ruptura (em M P a, aos 28 dias de cura) de uma amostra de vinte corpos de prova de prova de concreto de um determinado lote de uma etapa de construção de um cliente.
\mathbf{R}=\{14.58 ; 16.66 ; 15.30 ; 13.59 ; 15.30 ; 12.87 ; 15.83 ; 14.85 ; 12.26 ; 14.39 ; 11.89 ; 16.96 ; 15.69 ; 14.78 ; 15.95; 15.27; 11.51; 14.78; 17.34; 16.66}
  • Para cada item pedido escreva o estimador (a “fórmula”).
  • Para quantis, apresente a fórmula adotada para localização da posição (índice).
  • Desenvolva por escrito a primeira linha do cálculo.
  • Apresente cada medida juntamente com sua unidade dimensional.
    Qual o valor médio e a variância desses dados após a padronização?

Passo 1

O enunciado apresenta uma amostra de tamanho n=20 com resistências de ruptura em MPa e pede o valor médio e a variância após padronização (z-scores). O conteúdo envolve:
– Estimador da média amostral
– Estimador da variância amostral
– Definição de padronização z_i=(x_i-\bar x)/s_x
– Cálculo da média e variância da amostra padronizada

Passo 2

Escrevemos primeiro as fórmulas:
A média amostral
\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
A variância amostral
s_x^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2
A padronização de cada observação
z_i = \frac{x_i - \bar x}{s_x}
Queremos então
\bar z = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n z_i \quad\text{e}\quad s_z^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (z_i - \bar z)^2.

Passo 3

Primeira linha do cálculo de \bar z:
\bar z = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n z_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{x_i - \bar x}{s_x}.

Passo 4

Continuando a média:
\bar z = \frac{1}{n\,s_x}\Bigl(\sum_{i=1}^n x_i - n\,\bar x\Bigr) = \frac{1}{n\,s_x}\bigl(n\,\bar x - n\,\bar x\bigr) =0.
Unidade: sem dimensão (adimensional).

Passo 5

Primeira linha do cálculo de s_z^2: como \bar z=0,
s_z^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n z_i^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \Bigl(\frac{x_i-\bar x}{s_x}\Bigr)^{\!2} = \frac{1}{s_x^2}\;\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2 =1.
Unidade: sem dimensão (adimensional).

Resposta

\bar z = 0 (adimensional) s_z^2 = 1 (adimensional)

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