Um laboratório de resistência de materiais obteve as seguintes resistências de ruptura (em M P a, aos 28 dias de cura) de uma amostra de vinte corpos de prova de prova de concreto de um determinado lote de uma etapa de construção de um cliente.
\mathbf{R}=\{14.58 ; 16.66 ; 15.30 ; 13.59 ; 15.30 ; 12.87 ; 15.83 ; 14.85 ; 12.26 ; 14.39 ; 11.89 ; 16.96 ; 15.69 ; 14.78 ; 15.95; 15.27; 11.51; 14.78; 17.34; 16.66}
  • Para cada item pedido escreva o estimador (a “fórmula”).
  • Para quantis, apresente a fórmula adotada para localização da posição (índice).
  • Desenvolva por escrito a primeira linha do cálculo.
  • Apresente cada medida juntamente com sua unidade dimensional.
    Caso haja alguma resistência modal, qual(ais) é (são)?

Passo 1

Temos uma amostra de n=20 resistências de ruptura (em MPa):
R=\{14.58,16.66,15.30,13.59,15.30,12.87,15.83,14.85,12.26,14.39,11.89,16.96,15.69,14.78,15.95,15.27,11.51,14.78,17.34,16.66\}.
Vamos calcular as seguintes medidas descritivas:
– média amostral \bar x,
– variância amostral s^2 e desvio-padrão s,
– mediana (quantil de ordem 0{,}5),
– quartis Q_1 (quantil de ordem 0{,}25) e Q_3 (quantil de ordem 0{,}75), usando a fórmula de posição L_p = p\,(n+1),
– coeficiente de variação CV,
– moda (valor(es) mais frequente(s)).

Passo 2

Estimador da média amostral:
\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Primeira linha de cálculo:
\bar x = \frac{1}{20}\bigl(14.58 + 16.66 + 15.30 + \cdots + 16.66\bigr) = \frac{296.46}{20}.
Logo,
\bar x = 14.823
MPa.

Passo 3

Estimador da variância amostral:
s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)^2.
Primeira linha de cálculo:
\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)^2 = (14.58-14.823)^2 + (16.66-14.823)^2 + \cdots + (16.66-14.823)^2 = 53.079.
Portanto,
s^2 = \frac{53.079}{19} = 2.7936\quad(\text{MPa})^2.
O desvio-padrão amostral é
s = \sqrt{s^2} = \sqrt{2.7936} = 1.671
MPa.

Passo 4

Posição da mediana p=0{,}5:
L_{0.5} = 0.5\,(n+1) = 0.5\cdot21 = 10.5.
Ordenando os dados, o 10.º e 11.º valores são x_{(10)}=14.85 e x_{(11)}=15.27. Logo,
\text{mediana} = \frac{x_{(10)} + x_{(11)}}{2} = \frac{14.85 + 15.27}{2} = 15.06
MPa.

Passo 5

Posições dos quartis:
L_{0.25} = 0.25\,(n+1)=5.25,\quad L_{0.75} = 0.75\,(n+1)=15.75.
Como são fracionárias, interpolamos:
Q_1 = x_{(5)} + 0.25\,\bigl(x_{(6)}-x_{(5)}\bigr) =13.59 + 0.25\,(14.39-13.59) =13.79
MPa,
Q_3 = x_{(15)} + 0.75\,\bigl(x_{(16)}-x_{(15)}\bigr) =15.83 + 0.75\,(15.95-15.83) =15.92
MPa.

Passo 6

Estimador do coeficiente de variação:
CV = \frac{s}{\bar x}\times 100\%.
Primeira linha de cálculo:
CV = \frac{1.671}{14.823}\times100\%.
Logo,
CV = 11.27\%.

Passo 7

Moda: os valores que aparecem com maior frequência na amostra são \,14.78, 15.30 e 16.66,MPa (cada um com frequência 2).

Resposta

\displaystyle \bar x = 14.823\text{ MPa},\quad s^2 = 2.7936\text{ (MPa)}^2,\quad s = 1.671\text{ MPa},\quad CV = 11.27\%, \displaystyle \text{mediana} = 15.06\text{ MPa},\quad Q_1 = 13.79\text{ MPa},\quad Q_3 = 15.92\text{ MPa}.
Modas: 14.78, 15.30 e 16.66 MPa.

Exercícios relacionados