Um laboratório de resistência de materiais obteve as seguintes resistências de ruptura (em M P a, aos 28 dias de cura) de uma amostra de vinte corpos de prova de prova de concreto de um determinado lote de uma etapa de construção de um cliente.
\mathbf{R}=\{14.58 ; 16.66 ; 15.30 ; 13.59 ; 15.30 ; 12.87 ; 15.83 ; 14.85 ; 12.26 ; 14.39 ; 11.89 ; 16.96 ; 15.69 ; 14.78 ; 15.95; 15.27; 11.51; 14.78; 17.34; 16.66}
  • Para cada item pedido escreva o estimador (a “fórmula”).
  • Para quantis, apresente a fórmula adotada para localização da posição (índice).
  • Desenvolva por escrito a primeira linha do cálculo.
  • Apresente cada medida juntamente com sua unidade dimensional.
    Qual o primeiro quartil das resistências medidas?

Passo 1

No enunciado temos uma amostra de vinte resistências de ruptura de corpos de prova de concreto coletadas aos 28 dias, em unidade de MPa. O que nos pedem é o primeiro quartil dessa amostra, ou seja, o valor que separa os 25 % menores valores do restante. Para isso vamos usar o conceito de quantil por interpolação em amostras ordenadas.

Passo 2

O estimador do primeiro quartil Q_1 em uma amostra de tamanho n é obtido pelas fórmulas
j = p\,(n+1),\quad p=0,25,
se j não for inteiro definimos
k = \lfloor j\rfloor,\quad d = j - k,
e
Q_1 = (1 - d)\,x_{(k)} + d\,x_{(k+1)}.

Passo 3

Primeira linha do cálculo: substituindo n=20 e p=0,25 em j = p(n+1) obtemos
j = 0{,}25 \times (20 + 1) = 5{,}25.

Passo 4

Como j=5{,}25, temos k=5 e d=0{,}25. Ordenando os dados em ordem crescente, os 5.º e 6.º valores são
x_{(5)} = 13{,}59\text{ MPa},\quad x_{(6)} = 14{,}39\text{ MPa}.
Logo,
Q_1 = 13{,}59 + 0{,}25 \times (14{,}39 - 13{,}59) = 13{,}59 + 0{,}25 \times 0{,}80 = 13{,}79\text{ MPa}.

Resposta

O primeiro quartil das resistências medidas é 13{,}79\text{ MPa}.

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