Um laboratório de testes de Engenharia de Produção precisa decidir como alocar recursos limitados entre horas de uso de um analisador de vibração (
) e horas de uso de um termovisor
. O desempenho do diagnóstico depende da
combinação desses dois equipamentos e pode ser modelado pela função utilidade Cobb-Douglas:
sujeita à restrição orçamentária
, em que
são os custos de cada hora e
é o orçamento disponível.
(a) Derive a condição de primeira ordem e mostre que a Taxa Marginal de Substituição (TMS) iguala a razão entre os preços.
(b) Obtenha as demandas Marshall
e
.
(c) Esboce as curvas de indiferença e mostre graficamente o ponto ótimo.
(d) Explique como a homoteticidade dessas preferências se reflete nas demandas quando o orçamento
varia.
combinação desses dois equipamentos e pode ser modelado pela função utilidade Cobb-Douglas:
(a) Derive a condição de primeira ordem e mostre que a Taxa Marginal de Substituição (TMS) iguala a razão entre os preços.
(b) Obtenha as demandas Marshall
(c) Esboce as curvas de indiferença e mostre graficamente o ponto ótimo.
(d) Explique como a homoteticidade dessas preferências se reflete nas demandas quando o orçamento
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, sem resolver nada ainda.
- Dados do enunciado:
- Função utilidade:
, com . - Restrição orçamentária:
, com , e . - Variáveis de escolha:
(horas do analisador de vibração) e (horas do termovisor).
- Função utilidade:
- O que o enunciado pede:
(a) Derivar a condição de primeira ordem e mostrar que a Taxa Marginal de Substituição (TMS) iguala a razão entre os preços.
(b) Obter as demandas Marshallianase .
(c) Esboçar as curvas de indiferença e mostrar graficamente o ponto ótimo (descrever a forma e a tangência com a restrição).
(d) Explicar como a homoteticidade dessas preferências se reflete nas demandas quando o orçamentovaria.
Passo 2
Montar o problema de maximização e explicar a técnica que será usada (Lagrange). Aqui a ideia é: escolher
que maximizem
sujeito à restrição orçamentária. Para resolver problemas de maximização com uma restrição, usa-se o multiplicador de Lagrange.
- Definir o Lagrangiano:
Explanação rápida:
é o multiplicador que mede a variação da utilidade máxima quando o orçamento
aumenta; o sinal dentro do parêntese é
gasto, para que a restrição seja satisfeita quando o parêntese for zero.
Passo 3
Encontrar as condições de primeira ordem (FOC). Derivamos o Lagrangiano em relação a
,
e
e igualamos a zero.
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
(a própria restrição):
Explicação do que representam: as primeiras duas equações dizem que, no ponto ótimo, o benefício marginal ajustado (derivada da utilidade) de gastar uma unidade a mais em cada bem deve ser igual ao custo marginal ponderado por
.
Passo 4
A partir das FOC obtemos a condição que relaciona as utilidades marginais e os preços — que é a TMS igual à razão dos preços.
- Dividir a primeira FOC pela segunda FOC para eliminar
:
- Simplificar o lado esquerdo: os termos em potência se combinam para dar
- Reorganizando:
Interpretação em termos de TMS: a Taxa Marginal de Substituição é a razão das utilidades marginais,
Portanto a condição de optimalidade pode ser escrita como
Isto é, no ponto ótimo a taxa à qual o consumidor está disposto a trocar
por
(TMS) iguala a taxa à qual o mercado troca (razão dos preços).
Passo 5
Agora usamos a relação obtida com a restrição orçamentária para encontrar as demandas Marshallianas. Temos duas equações úteis: a relação entre
e
e a restrição de orçamento.
- Da relação anterior:
- Substituir na restrição
:
- Simplificar o segundo termo (observe que
cancela):
- Colocar
em evidência:
- Calcular o parêntese:
- Portanto:
- Usando a relação proporcional ou diretamente pelo gasto restante, obtemos:
Comentário intuitivo: a forma
e
significa que uma fração fixa
do orçamento é gasta em
e a fração
é gasta em
. Ou seja, gasto em
=
e gasto em
=
.
Passo 6
Descrever e esboçar as curvas de indiferença e o ponto ótimo (parte (c)), de forma didática.
- Equação de uma curva de indiferença de nível
: a condição implica
Isto mostra que cada curva de indiferença é uma hipérbole em escala (decai numa potência): quando
aumenta,
decresce para manter
constante. Elas são estritamente decrescentes e convexas para a origem (curvatura voltada para a origem).
- Equação da restrição orçamentária em forma de reta:
Esta é uma reta com intercepto vertical
e inclinação
.
- Ponto ótimo gráfico: no gráfico com
no eixo horizontal e no eixo vertical, as curvas de indiferença são convexas decrescentes; a linha orçamentária é uma reta decrescente. O ponto ótimo é o ponto de tangência entre uma curva de indiferença e a linha orçamentária, onde as inclinações são iguais:
No ponto de tangência vale
, que foi obtido antes. As coordenadas desse ponto ótimo são exatamente
Sugestão para esboço (faça à mão na prova): desenhar algumas curvas de indiferença (níveis diferentes, mais altas mais afastadas da origem), traçar a reta orçamentária e marcar o ponto de tangência; desenhar setas mostrando que aumentar
desloca a reta para cima (paralelamente) e o ponto ótimo move-se ao longo de uma linha reta que passa pela origem (veja homoteticidade).
Passo 7
Explicar a homoteticidade das preferências e como isso aparece nas demandas quando
varia (parte (d)).
-
Definição prática: preferências são homotéticas se, quando se escala o consumo por um fator positivo, a ordem de preferência entre cestas é preservada (curvas de indiferença são “escalares” umas das outras). Uma consequência direta é que a proporção de bens comprados não depende do nível de renda; as demandas da forma
são típicas de preferências homotéticas. -
No nosso caso,
é uma função homogênea de grau em ? Verificação rápida: para ,
Logo
é homogênea de grau
e, portanto, as preferências são homotéticas.
- Consequência nas demandas: as soluções encontradas
são lineares em
. Ou seja, ao multiplicar
por um fator
, as quantidades ótimas também se multiplicam por
. Assim:
- As frações do orçamento destinadas a cada bem são constantes (
e ), independentes de . - As curvas de Engel (relação entre
e ) são retas passando pela origem: cresce linearmente com com inclinação ; cresce linearmente com inclinação . - O caminho de expansão de renda (income expansion path) é a reta que liga a origem ao ponto ótimo (na verdade é o raio que passa pela solução para qualquer
): ao aumentar o ponto ótimo desloca-se ao longo de um mesmo raio a partir da origem.
Comentário motivador: isso facilita muito prever como mudanças no orçamento afetam as escolhas — bastam multiplicar.
Passo 8
Resumo final das fórmulas importantes e interpretação econômica curta (para decorar para a prova).
- Condição de tangência / TMS:
- Demandas Marshallianas:
- Interpretação: gastar sempre a fração
do orçamento em e a fração em ; curvas de indiferença convexas; ponto ótimo é tangência entre reta orçamentária e curva de indiferença; homoteticidade implica demandas proporcionais a .
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) As curvas de indiferença são dadas por (decrescentes e convexas). A reta orçamentária é
. O ponto ótimo é a tangência entre essas curvas, com coordenadas
.
(d) Como é homogênea de grau
(portanto preferências homotéticas), as demandas são lineares em
: multiplicar
por
multiplica
e
por
. As frações do orçamento gastos em cada bem (
e
) são constantes e as curvas de Engel são retas.
(b)
(c) As curvas de indiferença são dadas por
(d) Como