Um laboratório de testes de Engenharia de Produção precisa decidir como alocar recursos limitados entre horas de uso de um analisador de vibração ( x_{1} ) e horas de uso de um termovisor \left(x_{2}\right). O desempenho do diagnóstico depende da
combinação desses dois equipamentos e pode ser modelado pela função utilidade Cobb-Douglas:
U\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{\alpha} x_{2}^{1-\alpha}, \quad 0<\alpha<1,
sujeita à restrição orçamentária p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2}=m, em que p_{1}, p_{2} são os custos de cada hora e m é o orçamento disponível.
(a) Derive a condição de primeira ordem e mostre que a Taxa Marginal de Substituição (TMS) iguala a razão entre os preços.
(b) Obtenha as demandas Marshall x_{1}\left(p_{1}, p_{2}, m\right) e x_{2}\left(p_{1}, p_{2}, m\right).
(c) Esboce as curvas de indiferença e mostre graficamente o ponto ótimo.
(d) Explique como a homoteticidade dessas preferências se reflete nas demandas quando o orçamento m varia.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados do enunciado:
    • Função utilidade: U\left(x_{1},x_{2}\right)=x_{1}^{\alpha}x_{2}^{1-\alpha}, com 0<\alpha<1.
    • Restrição orçamentária: p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m, com p_{1}>0, p_{2}>0 e m>0.
    • Variáveis de escolha: x_{1} (horas do analisador de vibração) e x_{2} (horas do termovisor).
  • O que o enunciado pede:
    (a) Derivar a condição de primeira ordem e mostrar que a Taxa Marginal de Substituição (TMS) iguala a razão entre os preços.
    (b) Obter as demandas Marshallianas x_{1}\left(p_{1},p_{2},m\right) e x_{2}\left(p_{1},p_{2},m\right).
    (c) Esboçar as curvas de indiferença e mostrar graficamente o ponto ótimo (descrever a forma e a tangência com a restrição).
    (d) Explicar como a homoteticidade dessas preferências se reflete nas demandas quando o orçamento m varia.

Passo 2

Montar o problema de maximização e explicar a técnica que será usada (Lagrange). Aqui a ideia é: escolher \left(x_{1},x_{2}\right) que maximizem U sujeito à restrição orçamentária. Para resolver problemas de maximização com uma restrição, usa-se o multiplicador de Lagrange.
  • Definir o Lagrangiano:
\mathcal{L}(x_{1},x_{2},\lambda)=x_{1}^{\alpha}x_{2}^{1-\alpha}+\lambda\left(m-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}\right).
Explanação rápida: \lambda é o multiplicador que mede a variação da utilidade máxima quando o orçamento m aumenta; o sinal dentro do parêntese é m- gasto, para que a restrição seja satisfeita quando o parêntese for zero.

Passo 3

Encontrar as condições de primeira ordem (FOC). Derivamos o Lagrangiano em relação a x_{1}, x_{2} e \lambda e igualamos a zero.
  • Derivada parcial em relação a x_{1}:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{1}}=\alpha x_{1}^{\alpha-1}x_{2}^{1-\alpha}-\lambda p_{1}=0.
  • Derivada parcial em relação a x_{2}:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{2}}=(1-\alpha)x_{1}^{\alpha}x_{2}^{-\alpha}-\lambda p_{2}=0.
  • Derivada parcial em relação a \lambda (a própria restrição):
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=m-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}=0.
Explicação do que representam: as primeiras duas equações dizem que, no ponto ótimo, o benefício marginal ajustado (derivada da utilidade) de gastar uma unidade a mais em cada bem deve ser igual ao custo marginal ponderado por \lambda.

Passo 4

A partir das FOC obtemos a condição que relaciona as utilidades marginais e os preços — que é a TMS igual à razão dos preços.
  • Dividir a primeira FOC pela segunda FOC para eliminar \lambda:
\frac{\alpha x_{1}^{\alpha-1}x_{2}^{1-\alpha}}{(1-\alpha)x_{1}^{\alpha}x_{2}^{-\alpha}}=\frac{\lambda p_{1}}{\lambda p_{2}}=\frac{p_{1}}{p_{2}}.
  • Simplificar o lado esquerdo: os termos em potência se combinam para dar
\frac{\alpha}{1-\alpha}\cdot\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{p_{1}}{p_{2}}.
  • Reorganizando:
\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{1-\alpha}{\alpha}\cdot\frac{p_{1}}{p_{2}}.
Interpretação em termos de TMS: a Taxa Marginal de Substituição é a razão das utilidades marginais,
\mathrm{TMS}=\frac{MU_{1}}{MU_{2}}=\frac{\alpha x_{1}^{\alpha-1}x_{2}^{1-\alpha}}{(1-\alpha)x_{1}^{\alpha}x_{2}^{-\alpha}}=\frac{\alpha}{1-\alpha}\cdot\frac{x_{2}}{x_{1}}.
Portanto a condição de optimalidade pode ser escrita como
\mathrm{TMS}=\frac{p_{1}}{p_{2}}.
Isto é, no ponto ótimo a taxa à qual o consumidor está disposto a trocar x_{2} por x_{1} (TMS) iguala a taxa à qual o mercado troca (razão dos preços).

Passo 5

Agora usamos a relação obtida com a restrição orçamentária para encontrar as demandas Marshallianas. Temos duas equações úteis: a relação entre x_{2} e x_{1} e a restrição de orçamento.
  • Da relação anterior:
x_{2}=\frac{1-\alpha}{\alpha}\cdot\frac{p_{1}}{p_{2}}\,x_{1}.
  • Substituir na restrição p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m:
p_{1}x_{1}+p_{2}\left(\frac{1-\alpha}{\alpha}\cdot\frac{p_{1}}{p_{2}}\,x_{1}\right)=m.
  • Simplificar o segundo termo (observe que p_{2} cancela):
p_{1}x_{1}+\frac{1-\alpha}{\alpha}p_{1}x_{1}=m.
  • Colocar p_{1}x_{1} em evidência:
p_{1}x_{1}\left(1+\frac{1-\alpha}{\alpha}\right)=m.
  • Calcular o parêntese:
1+\frac{1-\alpha}{\alpha}=\frac{\alpha+1-\alpha}{\alpha}=\frac{1}{\alpha}.
  • Portanto:
p_{1}x_{1}\cdot\frac{1}{\alpha}=m\quad\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{\alpha m}{p_{1}}.
  • Usando a relação proporcional ou diretamente pelo gasto restante, obtemos:
x_{2}=\frac{1-\alpha}{\alpha}\cdot\frac{p_{1}}{p_{2}}\,x_{1}=\frac{1-\alpha}{\alpha}\cdot\frac{p_{1}}{p_{2}}\cdot\frac{\alpha m}{p_{1}}=\frac{(1-\alpha)m}{p_{2}}.
Comentário intuitivo: a forma x_{1}=\dfrac{\alpha m}{p_{1}} e x_{2}=\dfrac{(1-\alpha)m}{p_{2}} significa que uma fração fixa \alpha do orçamento é gasta em x_{1} e a fração 1-\alpha é gasta em x_{2}. Ou seja, gasto em x_{1} = \alpha m e gasto em x_{2} = (1-\alpha)m.

Passo 6

Descrever e esboçar as curvas de indiferença e o ponto ótimo (parte (c)), de forma didática.
  • Equação de uma curva de indiferença de nível U=\bar{U}: a condição x_{1}^{\alpha}x_{2}^{1-\alpha}=\bar{U} implica
x_{2}=\bar{U}^{\frac{1}{1-\alpha}}\;x_{1}^{-\frac{\alpha}{1-\alpha}}.
Isto mostra que cada curva de indiferença é uma hipérbole em escala (decai numa potência): quando x_{1} aumenta, x_{2} decresce para manter U constante. Elas são estritamente decrescentes e convexas para a origem (curvatura voltada para a origem).
  • Equação da restrição orçamentária em forma de reta:
x_{2}=\frac{m}{p_{2}}-\frac{p_{1}}{p_{2}}x_{1}.
Esta é uma reta com intercepto vertical \dfrac{m}{p_{2}} e inclinação -\dfrac{p_{1}}{p_{2}}.
  • Ponto ótimo gráfico: no gráfico com x_{1} no eixo horizontal e x_{2} no eixo vertical, as curvas de indiferença são convexas decrescentes; a linha orçamentária é uma reta decrescente. O ponto ótimo é o ponto de tangência entre uma curva de indiferença e a linha orçamentária, onde as inclinações são iguais:
\mathrm{inclinação\\ da\\ CI}=-\mathrm{TMS}=-\frac{\alpha}{1-\alpha}\cdot\frac{x_{2}}{x_{1}}, \qquad \mathrm{inclinação\\ da\\ reta}=-\frac{p_{1}}{p_{2}}.çãçã
No ponto de tangência vale \mathrm{TMS}=p_{1}/p_{2}, que foi obtido antes. As coordenadas desse ponto ótimo são exatamente
x_{1}^{*}=\frac{\alpha m}{p_{1}},\qquad x_{2}^{*}=\frac{(1-\alpha)m}{p_{2}}.
Sugestão para esboço (faça à mão na prova): desenhar algumas curvas de indiferença (níveis diferentes, mais altas mais afastadas da origem), traçar a reta orçamentária e marcar o ponto de tangência; desenhar setas mostrando que aumentar m desloca a reta para cima (paralelamente) e o ponto ótimo move-se ao longo de uma linha reta que passa pela origem (veja homoteticidade).

Passo 7

Explicar a homoteticidade das preferências e como isso aparece nas demandas quando m varia (parte (d)).
  • Definição prática: preferências são homotéticas se, quando se escala o consumo por um fator positivo, a ordem de preferência entre cestas é preservada (curvas de indiferença são “escalares” umas das outras). Uma consequência direta é que a proporção de bens comprados não depende do nível de renda; as demandas da forma x_{i}=\text{const}\times m são típicas de preferências homotéticas.
  • No nosso caso, U é uma função homogênea de grau 1 em (x_{1},x_{2})? Verificação rápida: para t>0,
U(tx_{1},tx_{2})=(tx_{1})^{\alpha}(tx_{2})^{1-\alpha}=t^{\alpha}t^{1-\alpha}x_{1}^{\alpha}x_{2}^{1-\alpha}=t\,U(x_{1},x_{2}).
Logo U é homogênea de grau 1 e, portanto, as preferências são homotéticas.
  • Consequência nas demandas: as soluções encontradas
x_{1}=\frac{\alpha m}{p_{1}},\qquad x_{2}=\frac{(1-\alpha)m}{p_{2}}
são lineares em m. Ou seja, ao multiplicar m por um fator t, as quantidades ótimas também se multiplicam por t. Assim:
  • As frações do orçamento destinadas a cada bem são constantes ( \alpha e 1-\alpha), independentes de m.
  • As curvas de Engel (relação entre x_{i} e m) são retas passando pela origem: x_{1} cresce linearmente com m com inclinação \alpha/p_{1}; x_{2} cresce linearmente com inclinação (1-\alpha)/p_{2}.
  • O caminho de expansão de renda (income expansion path) é a reta que liga a origem ao ponto ótimo (na verdade é o raio que passa pela solução para qualquer m): ao aumentar m o ponto ótimo desloca-se ao longo de um mesmo raio a partir da origem.
Comentário motivador: isso facilita muito prever como mudanças no orçamento afetam as escolhas — bastam multiplicar.

Passo 8

Resumo final das fórmulas importantes e interpretação econômica curta (para decorar para a prova).
  • Condição de tangência / TMS:
\mathrm{TMS}=\frac{MU_{1}}{MU_{2}}=\frac{\alpha}{1-\alpha}\cdot\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{p_{1}}{p_{2}}.
  • Demandas Marshallianas:
x_{1}\left(p_{1},p_{2},m\right)=\frac{\alpha m}{p_{1}},\qquad x_{2}\left(p_{1},p_{2},m\right)=\frac{(1-\alpha)m}{p_{2}}.
  • Interpretação: gastar sempre a fração \alpha do orçamento em x_{1} e a fração 1-\alpha em x_{2}; curvas de indiferença convexas; ponto ótimo é tangência entre reta orçamentária e curva de indiferença; homoteticidade implica demandas proporcionais a m.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{MU_{1}}{MU_{2}}=\frac{\alpha x_{1}^{\alpha-1}x_{2}^{1-\alpha}}{(1-\alpha)x_{1}^{\alpha}x_{2}^{-\alpha}}=\frac{\alpha}{1-\alpha}\cdot\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{p_{1}}{p_{2}}.
(b) \displaystyle x_{1}\left(p_{1},p_{2},m\right)=\frac{\alpha m}{p_{1}},\qquad x_{2}\left(p_{1},p_{2},m\right)=\frac{(1-\alpha)m}{p_{2}}.
(c) As curvas de indiferença são dadas por \displaystyle x_{2}=\bar{U}^{\frac{1}{1-\alpha}}x_{1}^{-\frac{\alpha}{1-\alpha}} (decrescentes e convexas). A reta orçamentária é \displaystyle x_{2}=\frac{m}{p_{2}}-\frac{p_{1}}{p_{2}}x_{1}. O ponto ótimo é a tangência entre essas curvas, com coordenadas \displaystyle x_{1}^{*}=\frac{\alpha m}{p_{1}},\;x_{2}^{*}=\frac{(1-\alpha)m}{p_{2}}.
(d) Como U é homogênea de grau 1 (portanto preferências homotéticas), as demandas são lineares em m: multiplicar m por t multiplica x_{1} e x_{2} por t. As frações do orçamento gastos em cada bem ( \alpha e 1-\alpha) são constantes e as curvas de Engel são retas.

Exercícios relacionados