Uma fábrica de montagem de kits de manutenção preventiva precisa entregar conjuntos completos de reposição a seus clientes industriais. Cada kit é composto por dois insumos críticos:
  • x_{1} : número de filtros de ar disponíveis no almoxarifado;
  • x_{2} : número de correias disponíveis no almoxarifado.
Por razões técnicas, cada kit consome exatamente um filtro e uma correia. Assim, o número de kits completos que a fábrica consegue montar é limitado pelo insumo gargalo. Logo, a gerência avalia cestas de estoque x=\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2} segundo a relação de preferência:
\left(x_{1}, x_{2}\right) \succeq\left(y_{1}, y_{2}\right) \Longleftrightarrow \min \left\{x_{1}, x_{2}\right\} \geq \min \left\{y_{1}, y_{2}\right\} .
Intuitivamente, a gerência prefere a cesta que permite montar mais kits completos, isto é, a de maior “mínimo” entre os dois insumos.
Enunciado. Considere X=\mathbb{R}_{+}^{2} e a relação \succeq acima.
(a) Verifique se \succeq é reflexiva, completa e transitiva.
(b) Discuta se as preferências satisfazem monotonicidade (fraca/estrita) e convexidade.
(c) Exiba uma função utilidade que represente essas preferências.
(d) Interprete economicamente o resultado à luz do problema de gargalos em linhas de montagem e explique como as curvas de indiferença se relacionam com o conceito de kits completos.

Passo 1

O enunciado dá a relação de preferência sobre X=\mathbb{R}_{+}^{2}:
\left(x_{1},x_{2}\right)\succeq\left(y_{1},y_{2}\right)\quad\Longleftrightarrow\quad \min\{x_{1},x_{2}\}\ge \min\{y_{1},y_{2}\}.
As perguntas são claramente:
(a) Verificar se \succeq é reflexiva, completa e transitiva.
(b) Discutir monotonicidade (fraca/estrita) e convexidade das preferências.
(c) Exibir uma função utilidade que represente essas preferências.
(d) Interpretar economicamente o resultado (gargalo em montagem) e relacionar com curvas de indiferença.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vou usar: cada kit usa exatamente um filtro e uma correia, então a “utilidade” da cesta é determinada pelo número de kits montáveis, isto é, pelo valor \min\{x_{1},x_{2}\}.

Passo 2

Definições (muito práticas) que vou usar para (a):
  • Reflexiva: para todo x\in X, x\succeq x.
  • Completa: para quaisquer x,y\in X, ou x\succeq y ou y\succeq x (ou ambos).
  • Transitiva: se x\succeq y e y\succeq z então x\succeq z.
Vou testar cada propriedade usando a fórmula das preferências baseada no mínimo.

Passo 3

Provar reflexividade:
Para qualquer x=(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}_{+}^{2} vale
\min\{x_{1},x_{2}\}\ge \min\{x_{1},x_{2}\},
que é verdade (qualquer número real é maior ou igual a si mesmo). Portanto, \succeq é reflexiva.

Passo 4

Provar completude:
Tomar quaisquer x,y\in\mathbb{R}_{+}^{2}. Os números reais \min\{x_{1},x_{2}\} e \min\{y_{1},y_{2}\} são comparáveis: ou \min\{x_{1},x_{2}\}\ge\min\{y_{1},y_{2}\} ou \min\{y_{1},y_{2}\}\ge\min\{x_{1},x_{2}\}. Assim, ou x\succeq y ou y\succeq x. Logo, \succeq é completa.

Passo 5

Provar transitividade:
Se x\succeq y e y\succeq z então
\min\{x_{1},x_{2}\}\ge\min\{y_{1},y_{2}\}\quad\text{e}\quad \min\{y_{1},y_{2}\}\ge\min\{z_{1},z_{2}\}.
Pelo encadeamento da desigualdade dos reais obtemos
\min\{x_{1},x_{2}\}\ge\min\{z_{1},z_{2}\},
que implica x\succeq z. Logo, \succeq é transitiva.

Passo 6

Conclusão parcial para (a):
As três propriedades são verdadeiras: \succeq é reflexiva, completa e transitiva. Em linguagem econômica: \succeq é uma preferência bem definida (uma ordem completa e transitiva, i.e., um preorder completo).

Passo 7

Definição e teste de monotonicidade (para (b)):
  • Monotonicidade fraca (ou simplesmente monotonicidade): se x_{1}\ge y_{1} e x_{2}\ge y_{2} então x\succeq y.
  • Monotonicidade estrita: se x_{1}\ge y_{1}, x_{2}\ge y_{2} e pelo menos uma desigualdade é estrita, então x\succ y (estritamente preferido).
Verificação da monotonicidade fraca:
Se x_{i}\ge y_{i} para i=1,2 então necessariamente
\min\{x_{1},x_{2}\}\ge\min\{y_{1},y_{2}\},
portanto x\succeq y. Logo, as preferências satisfazem monotonicidade fraca.

Passo 8

Verificação da monotonicidade estrita (contraexemplo e explicação):
É preciso checar se sempre que x\ge y com alguma desigualdade estrita temos \min\{x_{1},x_{2}\}>\min\{y_{1},y_{2}\}. Um contraexemplo simples:
  • Seja y=(1,1) e x=(1,2). Então x_{i}\ge y_{i} e uma desigualdade é estrita, mas
\min\{y_{1},y_{2}\}=1,\qquad \min\{x_{1},x_{2}\}=1,
logo x não é estritamente preferido a y. Conclusão: monotonicidade estrita NÃO vale. Intuição: aumentar o insumo que não é o gargalo não aumenta o número de kits.

Passo 9

Definição e verificação de convexidade (para (b)):
  • Preferências convexas significam que para qualquer y fixo, o conjunto de cestas pelo menos tão boas quanto y, isto é o conjunto de superníveis \{x\mid x\succeq y\}, é convexo.
    Caracterização prática aqui: para um nível k fixo, o supernível
\{x\mid \min\{x_{1},x_{2}\}\ge k\} = \{x\mid x_{1}\ge k\\ \text{e}\\ x_{2}\ge k\},
que é a interseção de dois semiespaços \{x_{1}\ge k\} e \{x_{2}\ge k\}. Essa interseção é um conjunto convexo (é um quadrante deslocado). Logo, todos os superníveis são conjuntos convexos, portanto as preferências são convexas.

Passo 10

Sobre convexidade estrita:
Preferências estritamente convexas exigem que misturar duas cestas distintas estritamente melhore (se ambas forem indiferentes). Aqui há casos em que duas cestas distintas com o mesmo mínimo têm uma mistura que mantém o mesmo mínimo, por exemplo x=(k,k) e y=(k, K) (com K>k). A mistura com peso \lambda\in(0,1) é \lambda x+(1-\lambda)y=(k,\lambda k+(1-\lambda)K) e seu mínimo continua sendo k. Assim a mistura pode não ser estritamente melhor. Conclusão: preferências são convexas, mas não necessariamente estritamente convexas.

Passo 11

Agora (c): construir a função utilidade que representa \succeq.
A escolha natural e direta é a função
u:\mathbb{R}_{+}^{2}\to\mathbb{R},\qquad u(x_{1},x_{2})=\min\{x_{1},x_{2}\}.
Verificação: para quaisquer x,y,
u(x)\ge u(y)\quad\Longleftrightarrow\quad \min\{x_{1},x_{2}\}\ge\min\{y_{1},y_{2}\}\quad\Longleftrightarrow\quad x\succeq y.
Portanto u representa exatamente as preferências. Observações úteis: u é contínua e monotônica fraca (não estrita), e é uma forma particular de utilidade de “complementos perfeitos” (Leontief).

Passo 12

Discussão didática sobre o que essa utilidade significa e sobre as curvas de indiferença (para (d)):
  • Interpretação “gargalo”: u(x)=\min\{x_{1},x_{2}\} mede quantos kits completos podem ser montados. Se um insumo sobra, ele não compensa a falta do outro. O insumo em menor quantidade é o gargalo que determina a produção total de kits.
  • Curvas de indiferença (nível k): o conjunto \{x\mid u(x)=k\} é
\{(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}_{+}^{2}\mid \min\{x_{1},x_{2}\}=k\} = \{x_{1}=k,\\ x_{2}\ge k\}\\ \cup\\ \{x_{2}=k,\\ x_{1}\ge k\}.
Geometricamente, isso forma um “L” com vértice em (k,k): duas semi-retas ortogonais que se encontram no ponto (k,k). Em palavras: em uma curva de indiferença de nível k aumentar apenas o insumo não-gargalo (o ramo longo do “L”) não altera a utilidade; para aumentar a utilidade é preciso aumentar ambos até ultrapassar o gargalo.
  • Relação com kits completos: mover-se ao longo do ramo onde um insumo é maior que k (por exemplo x_{2}>k com x_{1}=k) significa ter correias sobrando mas ainda conseguir montar exatamente k kits — até que o filtro seja aumentado. Somente quando o menor componente ultrapassa k a utilidade (número de kits completos) sobe para um nível maior.
  • Intuição econômica e implicações: essas preferências capturam complementaridade perfeita: filtros e correias são usados em proporção fixa 1:1. Isso tem implicações práticas: gastar recurso para aumentar somente o insumo não-gargalo é ineficiente do ponto de vista de kits completos; políticas ótimas de estoque deverão focar em equilibrar os dois estoques para remover o gargalo.

Passo 13

Exemplos rápidos para fixar:
  • Se x=(10,3) e y=(4,4), então u(x)=\min\{10,3\}=3 e u(y)=4. Assim y\succ x apesar de x ter mais filtros no total — porque correias (gargalo) limitam.
  • A mistura entre x=(2,5) e y=(5,2) com \lambda=\tfrac{1}{2} (3{,}5,3{,}5) com utilidade 3{,}5>\min\{2,5\}=2, mostrando que, às vezes, combinar estoques complementares melhora bastante o número de kits.

Resposta

(a) Reflexiva: sim. Completa: sim. Transitiva: sim.
(b) Monotonicidade fraca: satisfeita. Monotonicidade estrita: não satisfeita (aumentar apenas o insumo não-gargalo pode não aumentar a preferência). Convexidade: satisfeita (preferências convexas). Estrita convexidade: não em geral.
(c) Uma função utilidade que representa as preferências é u(x_{1},x_{2})=\min\{x_{1},x_{2}\}.
(d) Interpretação: u(x)=\min\{x_{1},x_{2}\} mede o número de kits completos (o insumo em menor quantidade é o gargalo). As curvas de indiferença de nível k formam um “L” com vértice em (k,k): \{x_{1}=k,\\ x_{2}\ge k\}\cup\{x_{2}=k,\\ x_{1}\ge k\}. Isso expressa complementaridade perfeita (1 filtro por 1 correia): só aumentar o insumo que não é gargalo não aumenta a produção de kits até que o gargalo seja eliminado.

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