Uma fábrica de montagem de kits de manutenção preventiva precisa entregar conjuntos completos de reposição a seus clientes industriais. Cada kit é composto por dois insumos críticos:
-
: número de filtros de ar disponíveis no almoxarifado;
-
: número de correias disponíveis no almoxarifado.
Por razões técnicas, cada kit consome exatamente um filtro e uma correia. Assim, o número de kits completos que a fábrica consegue montar é limitado pelo insumo gargalo. Logo, a gerência avalia cestas de estoque
segundo a relação de preferência:
Intuitivamente, a gerência prefere a cesta que permite montar mais kits completos, isto é, a de maior “mínimo” entre os dois insumos.
Enunciado. Considere
e a relação
acima.
(a) Verifique se
é reflexiva, completa e transitiva.
(b) Discuta se as preferências satisfazem monotonicidade (fraca/estrita) e convexidade.
(c) Exiba uma função utilidade que represente essas preferências.
(d) Interprete economicamente o resultado à luz do problema de gargalos em linhas de montagem e explique como as curvas de indiferença se relacionam com o conceito de kits completos.
(a) Verifique se
(b) Discuta se as preferências satisfazem monotonicidade (fraca/estrita) e convexidade.
(c) Exiba uma função utilidade que represente essas preferências.
(d) Interprete economicamente o resultado à luz do problema de gargalos em linhas de montagem e explique como as curvas de indiferença se relacionam com o conceito de kits completos.
Passo 1
O enunciado dá a relação de preferência sobre
:
As perguntas são claramente:
(a) Verificar se é reflexiva, completa e transitiva.
(b) Discutir monotonicidade (fraca/estrita) e convexidade das preferências.
(c) Exibir uma função utilidade que represente essas preferências.
(d) Interpretar economicamente o resultado (gargalo em montagem) e relacionar com curvas de indiferença.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vou usar: cada kit usa exatamente um filtro e uma correia, então a “utilidade” da cesta é determinada pelo número de kits montáveis, isto é, pelo valor .
(a) Verificar se
(b) Discutir monotonicidade (fraca/estrita) e convexidade das preferências.
(c) Exibir uma função utilidade que represente essas preferências.
(d) Interpretar economicamente o resultado (gargalo em montagem) e relacionar com curvas de indiferença.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vou usar: cada kit usa exatamente um filtro e uma correia, então a “utilidade” da cesta é determinada pelo número de kits montáveis, isto é, pelo valor
Passo 2
Definições (muito práticas) que vou usar para (a):
- Reflexiva: para todo
, . - Completa: para quaisquer
, ou ou (ou ambos). - Transitiva: se
e então .
Vou testar cada propriedade usando a fórmula das preferências baseada no mínimo.
Passo 3
Provar reflexividade:
Para qualquer vale
Para qualquer
que é verdade (qualquer número real é maior ou igual a si mesmo). Portanto,
é reflexiva.
Passo 4
Provar completude:
Tomar quaisquer . Os números reais
e
são comparáveis: ou
ou
. Assim, ou
ou
. Logo,
é completa.
Tomar quaisquer
Passo 5
Provar transitividade:
Se e
então
Se
Pelo encadeamento da desigualdade dos reais obtemos
que implica
. Logo,
é transitiva.
Passo 6
Conclusão parcial para (a):
As três propriedades são verdadeiras: é reflexiva, completa e transitiva. Em linguagem econômica:
é uma preferência bem definida (uma ordem completa e transitiva, i.e., um preorder completo).
As três propriedades são verdadeiras:
Passo 7
Definição e teste de monotonicidade (para (b)):
- Monotonicidade fraca (ou simplesmente monotonicidade): se
e então . - Monotonicidade estrita: se
, e pelo menos uma desigualdade é estrita, então (estritamente preferido).
Verificação da monotonicidade fraca:
Se para
então necessariamente
Se
portanto
. Logo, as preferências satisfazem monotonicidade fraca.
Passo 8
Verificação da monotonicidade estrita (contraexemplo e explicação):
É preciso checar se sempre que com alguma desigualdade estrita temos
. Um contraexemplo simples:
É preciso checar se sempre que
- Seja
e . Então e uma desigualdade é estrita, mas
logo
não é estritamente preferido a
. Conclusão: monotonicidade estrita NÃO vale. Intuição: aumentar o insumo que não é o gargalo não aumenta o número de kits.
Passo 9
Definição e verificação de convexidade (para (b)):
- Preferências convexas significam que para qualquer
fixo, o conjunto de cestas pelo menos tão boas quanto , isto é o conjunto de superníveis , é convexo.
Caracterização prática aqui: para um nívelfixo, o supernível
que é a interseção de dois semiespaços
e
. Essa interseção é um conjunto convexo (é um quadrante deslocado). Logo, todos os superníveis são conjuntos convexos, portanto as preferências são convexas.
Passo 10
Sobre convexidade estrita:
Preferências estritamente convexas exigem que misturar duas cestas distintas estritamente melhore (se ambas forem indiferentes). Aqui há casos em que duas cestas distintas com o mesmo mínimo têm uma mistura que mantém o mesmo mínimo, por exemplo e
(com
). A mistura com peso
é
e seu mínimo continua sendo
. Assim a mistura pode não ser estritamente melhor. Conclusão: preferências são convexas, mas não necessariamente estritamente convexas.
Preferências estritamente convexas exigem que misturar duas cestas distintas estritamente melhore (se ambas forem indiferentes). Aqui há casos em que duas cestas distintas com o mesmo mínimo têm uma mistura que mantém o mesmo mínimo, por exemplo
Passo 11
Agora (c): construir a função utilidade que representa
.
A escolha natural e direta é a função
A escolha natural e direta é a função
Verificação: para quaisquer
,
Portanto
representa exatamente as preferências. Observações úteis:
é contínua e monotônica fraca (não estrita), e é uma forma particular de utilidade de “complementos perfeitos” (Leontief).
Passo 12
Discussão didática sobre o que essa utilidade significa e sobre as curvas de indiferença (para (d)):
- Interpretação “gargalo”:
mede quantos kits completos podem ser montados. Se um insumo sobra, ele não compensa a falta do outro. O insumo em menor quantidade é o gargalo que determina a produção total de kits. - Curvas de indiferença (nível
): o conjunto é
Geometricamente, isso forma um “L” com vértice em
: duas semi-retas ortogonais que se encontram no ponto
. Em palavras: em uma curva de indiferença de nível
aumentar apenas o insumo não-gargalo (o ramo longo do “L”) não altera a utilidade; para aumentar a utilidade é preciso aumentar ambos até ultrapassar o gargalo.
- Relação com kits completos: mover-se ao longo do ramo onde um insumo é maior que
(por exemplo com ) significa ter correias sobrando mas ainda conseguir montar exatamente kits — até que o filtro seja aumentado. Somente quando o menor componente ultrapassa a utilidade (número de kits completos) sobe para um nível maior. - Intuição econômica e implicações: essas preferências capturam complementaridade perfeita: filtros e correias são usados em proporção fixa
. Isso tem implicações práticas: gastar recurso para aumentar somente o insumo não-gargalo é ineficiente do ponto de vista de kits completos; políticas ótimas de estoque deverão focar em equilibrar os dois estoques para remover o gargalo.
Passo 13
Exemplos rápidos para fixar:
- Se
e , então e . Assim apesar de ter mais filtros no total — porque correias (gargalo) limitam. - A mistura entre
e com dá com utilidade , mostrando que, às vezes, combinar estoques complementares melhora bastante o número de kits.
Resposta
(a) Reflexiva: sim. Completa: sim. Transitiva: sim.
(b) Monotonicidade fraca: satisfeita. Monotonicidade estrita: não satisfeita (aumentar apenas o insumo não-gargalo pode não aumentar a preferência). Convexidade: satisfeita (preferências convexas). Estrita convexidade: não em geral.
(c) Uma função utilidade que representa as preferências é
.
(d) Interpretação:
mede o número de kits completos (o insumo em menor quantidade é o gargalo). As curvas de indiferença de nível
formam um “L” com vértice em
:
. Isso expressa complementaridade perfeita (1 filtro por 1 correia): só aumentar o insumo que não é gargalo não aumenta a produção de kits até que o gargalo seja eliminado.