O lado de um cubo cresce a uma taxa de 4 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Determine as taxas com que o volume e a área da superfície do cubo estão variando quando o lado mede 6 cm .

Passo 1

O enunciado diz que o lado de um cubo, que vamos chamar de s, cresce à razão constantede \tfrac{ds}{dt}=4\\ \mathrm{cm/s}. Precisamos encontrar as taxas de variação do volume V e da área da superfície A em função do tempo, avaliando os resultados em s=6\\ \mathrm{cm}. O conteúdo usado é o de taxas relacionadas (chain rule), em que derivamos quantidades que dependem de s em função de t.

Passo 2

Expressamos o volume e a área da superfície em função de s:
V = s^3,
A = 6\,s^2.

Passo 3

Aplicamos a derivada em relação a t, usando a regra da cadeia:
\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(s^3\bigr) = 3\,s^2\;\frac{ds}{dt},
\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(6\,s^2\bigr) = 12\,s\;\frac{ds}{dt}.

Passo 4

Substituímos \tfrac{ds}{dt}=4\\ \mathrm{cm/s} e s=6\\ \mathrm{cm}:
\frac{dV}{dt} = 3\,(6)^2\,(4) = 3\cdot36\cdot4,
\frac{dA}{dt} = 12\,(6)\,(4) = 12\cdot6\cdot4.

Passo 5

Fazendo as contas:
\frac{dV}{dt} = 3\cdot36\cdot4 = 432\\ \mathrm{cm^3/s},
\frac{dA}{dt} = 12\cdot6\cdot4 = 288\\ \mathrm{cm^2/s}.

Resposta

A taxa de variação do volume é \displaystyle \frac{dV}{dt}=432\\ \mathrm{cm^3/s} e a da área da superfície é \displaystyle \frac{dA}{dt}=288\\ \mathrm{cm^2/s}.

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