Se z=f(x-y), mostre que
\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=0

Passo 1

O enunciado diz que z = f(x - y) e pede para mostrar que
\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = 0.
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia para derivadas parciais: quando uma função depende de uma combinação linear de variáveis, introduzimos uma nova variável auxiliar e aplicamos a cadeia.

Passo 2

Definimos a variável auxiliar
u = x - y,
de modo que
z = f(u).

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para \partial z/\partial x, temos
\frac{\partial z}{\partial x} = f'(u)\,\frac{\partial u}{\partial x} = f'(u)\cdot 1 = f'(u).

Passo 4

De forma análoga, para \partial z/\partial y,
\frac{\partial z}{\partial y} = f'(u)\,\frac{\partial u}{\partial y} = f'(u)\cdot(-1) = -\,f'(u).

Passo 5

Somando as duas derivadas,
\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = f'(u) + \bigl(-f'(u)\bigr) = 0.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = 0.

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