A base de um cilindro circular reto tem raio r e altura h. Se o raio aumenta a uma taxa de 2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} e a altura aumenta a uma taxa de 3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}, determine a taxa de variação do volume quando r=5 \mathrm{~cm} e h=10 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro cujo volume depende do raio r e da altura h. Sabemos que
\tfrac{dr}{dt}=2\\ \text{cm/s} e \tfrac{dh}{dt}=3\\ \text{cm/s},
e precisamos encontrar \tfrac{dV}{dt} quando r=5\\ \text{cm} e h=10\\ \text{cm}. O conteúdo envolve derivadas de funções compostas e produto de variáveis.

Passo 2

A fórmula do volume de um cilindro é
V = \pi r^2 h.
Como r e h variam com o tempo, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar em relação a t:
\frac{dV}{dt} = \pi\frac{d}{dt}\bigl(r^2 h\bigr) = \pi\Bigl(2r\frac{dr}{dt}\,h \;+\; r^2\frac{dh}{dt}\Bigr).

Passo 3

Substituindo r=5, h=10, \tfrac{dr}{dt}=2 e \tfrac{dh}{dt}=3, temos
\frac{dV}{dt} = \pi\bigl(2\cdot 5\cdot 2\cdot 10 \;+\; 5^2\cdot 3\bigr) = \pi\bigl(200 + 75\bigr) = 275\pi.

Resposta

\displaystyle \frac{dV}{dt} = 275\pi\\ \text{cm}^3/\text{s}

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