Determine os fasores para as funções senoidais
\mathrm{I}=1,41^{*} \operatorname{sen}\left(377 \mathrm{t}+30^{*}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função senoidal
\mathrm{I}=1{,}41\ast\operatorname{sen}\left(377\,t+30^\circ\right) e pede: determinar os fasores correspondentes a essa função.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • amplitude (pico) A=1{,}41,
  • pulsação \omega=377\\ \mathrm{rad/s} (apenas informação de frequência; não precisamos calcular nada com ela para o fasor),
  • fase \varphi=30^\circ.
    O que precisa ser entregue: o fasor (em forma polar e, se desejarmos, em forma retangular), indicando explicitamente qual é o fasor de pico e qual é o fasor em valor eficaz (RMS), se for o caso.

Passo 2

Vou explicar o relacionamento entre seno e cosseno que usamos para obter o fasor: por convenção de fasores muitas vezes usamos a referência em cosseno. A identidade importante é
\sin(\omega t+\varphi)=\cos\bigl(\omega t+\varphi-90^\circ\bigr).
Isto significa que um termo em seno com fase \varphi é equivalente a um cosseno com fase \varphi-90^\circ. Então, ao passar para o domínio dos fasores (que costuma usar a forma \text{amplitude}\angle\text{fase} referida ao cosseno), devemos subtrair 90^\circ da fase dada no seno.

Passo 3

Definição de fasor e conversões que usaremos:
  • Se tivermos x(t)=A\cos(\omega t+\theta), o fasor de pico (magnitude pico) é
X_{\text{pico}}=A\angle\theta.
  • O fasor em valor eficaz (RMS) usa a magnitude eficaz A_{\text{rms}} = \dfrac{A}{\sqrt{2}}, logo
X_{\text{rms}}=\frac{A}{\sqrt{2}}\angle\theta.
  • Para converter da forma polar para retangular usamos a fórmula de Euler:
A\angle\theta = A\bigl(\cos\theta + j\sin\theta\bigr),
onde j é a unidade imaginária. Aqui A é a magnitude (pico ou RMS, conforme o caso) e \theta a fase em graus (podemos usar diretamente seno e cosseno de \theta em graus).

Passo 4

Aplicando a relação seno→cosseno ao nosso sinal:
\sin(377t+30^\circ)=\cos\bigl(377t+30^\circ-90^\circ\bigr)=\cos\bigl(377t-60^\circ\bigr).
Portanto, a fase para o fasor (referido ao cosseno) é \theta=30^\circ-90^\circ=-60^\circ.

Passo 5

Fasor de pico (mantendo a amplitude dada A=1{,}41):
I_{\text{pico}} = 1{,}41\angle -60^\circ.
Agora converto para forma retangular usando \cos(-60^\circ)=\tfrac{1}{2} e \sin(-60^\circ)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}:
I_{\text{pico}} = 1{,}41\Bigl(\tfrac{1}{2} + j\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)\Bigr) = \tfrac{1{,}41}{2} - j\,\tfrac{1{,}41\sqrt{3}}{2}.
Fazendo as aproximações decimais (usando vírgula):
\tfrac{1{,}41}{2}\approx 0{,}705,\qquad \tfrac{1{,}41\sqrt{3}}{2}\approx 1{,}221,
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I_{\text{pico}}\approx 0{,}705 - j\,1{,}221.

Passo 6

Fasor RMS: calcule a magnitude eficaz \dfrac{A}{\sqrt{2}}. Como A=1{,}41 e \sqrt{2}\approx 1{,}414, temos
\frac{1{,}41}{\sqrt{2}}\approx 1{,}00 \\ (\text{praticamente }1).
Portanto, o fasor RMS é (usando a fase já obtida -60^\circ):
I_{\text{rms}} = 1\angle -60^\circ.
Em forma retangular, usando \cos(-60^\circ)=\tfrac{1}{2} e \sin(-60^\circ)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2},
I_{\text{rms}} = \tfrac{1}{2} - j\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}5 - j\,0{,}866.

Passo 7

Resumo didático rápido (para memorizar na hora da prova):
  • transforme seno em cosseno subtraindo 90^\circ da fase;
  • fasor de pico: mantenha amplitude e use a fase convertida; passe para retangular com cos e seno;
  • fasor RMS: divida a amplitude por \sqrt{2} e mantenha a mesma fase convertida.

Resposta

Fasor (pico): 1{,}41\angle -60^\circ = \tfrac{1{,}41}{2} - j\,\tfrac{1{,}41\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}705 - j\,1{,}221
Fasor (RMS): 1\angle -60^\circ = \tfrac{1}{2} - j\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}5 - j\,0{,}866

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