Em um lago de águas calmas, duas jangadas de massa
e comprimento
estão paradas em fila, uma atrás da outra. Um menino de massa
M
está em pé, também parado, no meio da primeira jangada. O menino, então, resolve correr até o final da jangada em que se encontra e salta para a jangada seguinte, com velocidade horizontal
em relação à margem do lago. Ele cai na segunda jangada e lá permanece quieto. Em relação à margem do lago, em termos de
M
'L
i
(considere a direção da velocidade do menino como positiva), calcule:
. a velocidade dessa primeira jangada (em relação à margem, módulo, direção e sentido), imediatamente após o salto do menino,
;
. a velocidade final do segunda jangada, agora com o menino quieto em cima dela,
e comprimento
M
está em pé, também parado, no meio da primeira jangada. O menino, então, resolve correr até o final da jangada em que se encontra e salta para a jangada seguinte, com velocidade horizontal
'L
i
(considere a direção da velocidade do menino como positiva), calcule:
. a velocidade dessa primeira jangada (em relação à margem, módulo, direção e sentido), imediatamente após o salto do menino,
;
. a velocidade final do segunda jangada, agora com o menino quieto em cima dela,
Passo 1
O enunciado dá duas jangadas idênticas, cada uma de massa
e comprimento
, inicialmente paradas em fila (uma atrás da outra). Um menino de massa
está em pé no meio da primeira jangada. Ele corre até a extremidade da primeira jangada e salta na direção da segunda jangada, saindo com velocidade horizontal
em relação à margem do lago. Depois de saltar ele pousa na segunda jangada e fica parado sobre ela. A direção da velocidade do menino é tomada como positiva.
Perguntas (duas):
Perguntas (duas):
- Qual é a velocidade da primeira jangada imediatamente após o salto do menino? Denotaremos essa velocidade por
. - Qual é a velocidade final da segunda jangada depois que o menino pousa e fica nela? Denotaremos por
.
Informações relevantes listadas:(massa de cada jangada), (massa do menino), (comprimento das jangadas, não usado diretamente nas velocidades), a velocidade do menino relativa à margem (direção positiva na mesma direção do salto). Não há menção de forças externas horizontais significativas (água calma, sem arrasto horizontal relevante), então podemos usar conservação do momento linear horizontal quando apropriado.
Passo 2
Conservação do momento na etapa do salto (ação que determina
).
Vamos pensar no instante imediatamente antes do menino deixar a primeira jangada: por ausência de forças externas horizontais significativas, o momento linear total do sistema composto por menino + jangadas é conservado durante toda a interação interna. Antes de o menino sair de sua posição inicial (o sistema já pode ter se movimentado internamente enquanto ele correu), o momento total horizontal era zero (início em repouso e sem força externa). Assim, no instante imediatamente após o salto, o momento total ainda deve ser zero. Nesse instante o menino já está se afastando com velocidade (positiva), a primeira jangada passou a ter alguma velocidade
e a segunda jangada ainda não foi atingida (ainda está em repouso instantaneamente após o salto). Então a equação do momento total (tomando positivo na direção do salto) é:
Vamos pensar no instante imediatamente antes do menino deixar a primeira jangada: por ausência de forças externas horizontais significativas, o momento linear total do sistema composto por menino + jangadas é conservado durante toda a interação interna. Antes de o menino sair de sua posição inicial (o sistema já pode ter se movimentado internamente enquanto ele correu), o momento total horizontal era zero (início em repouso e sem força externa). Assim, no instante imediatamente após o salto, o momento total ainda deve ser zero. Nesse instante o menino já está se afastando com velocidade
Aqui explico cada termo:
é o momento do menino,
é o momento da primeira jangada, e a segunda jangada tem momento nulo no instante logo após o salto. A soma deve ser zero por conservação do momento.
Passo 3
Resolvo a equação do passo anterior para
. A equação
implica
Interpretação física e sinal: o resultado é negativo, ou seja, a primeira jangada adquire velocidade contrária à direção do salto do menino (ela recua). O módulo da velocidade da primeira jangada é
e o sentido é oposto ao movimento do menino.
Passo 4
Agora tratamos o pouso do menino sobre a segunda jangada e a velocidade final conjunta
. Antes do impacto, a segunda jangada está em repouso (velocidade zero) e o menino se aproxima com velocidade
(informada no enunciado como velocidade em relação à margem). Ao pousar e permanecer sobre a jangada, temos uma colisão perfeitamente inelástica entre o menino (massa
) e a segunda jangada (massa
). Durante a colisão, forças internas entre menino e jangada podem atuar, mas forças externas horizontais são desprezíveis no intervalo curto da colisão, então o momento horizontal do sistema (menino + segunda jangada) é conservado. Escrevendo a conservação do momento para o sistema menino + jangada 2, entre o instante imediatamente antes do impacto e imediatamente depois (quando ambos movem-se juntos com
):
Explico: o termo da esquerda é o momento total antes da colisão (
do menino,
da jangada), e o termo da direita é o momento total depois, com massa combinada
movendo-se com velocidade comum
.
Passo 5
Resolvo a equação do passo anterior para
:
Interpretação: a velocidade final da segunda jangada (com o menino em cima) tem o mesmo sentido do movimento do menino (positivo) e módulo
. Note que esta velocidade é menor que
porque parte do momento fica “diluído” pela massa adicional da jangada.