Uma bola com massa M é atirada no instante to verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade V_{0}. Despreze a resistência do ar e considere positivo para cima. Quando ela volta e atinge novamente o solo, no instante t_{1}, é repicada e no instante t_{2} logo após, ela despega do solo e volta a subir, com perda de metade de sua energia cinética.
Responda:
  1. Qual é o impulso que a Terra realiza, pela gravidade, sobre a bola durante seu processo de subida e descida, \left.\Delta p\right|_{t_{0}} ^{t_{1}}\, entre os instantes to e \(t_{1} ?
  2. Qual é o impulso que a Terra realiza, pelo contato com o piso, sobre a bola no processo em que ela repica no solo, \left.\Delta p\right|_{1} ^{1}\, entre os instantes \(t_{1} (ao encostar no solo descendo) e t_{2} (ao despegar do solo subindo)?
Escolha uma:
\bigcirc
  1. \left.\Delta p\right|_{t_{0}} ^{t_{1}}=-M V_{0}
  2. \left.\Delta p\right|_{t_{1}} ^{t_{2}}=-M V_{0}(\sqrt{2}+1)
    \bigcirc
  3. \left.\Delta p\right|_{t_{0}} ^{t_{1}}=-2 M V_{0}
  4. \left.\Delta p\right|_{t_{1}} ^{t_{2}}=M V_{0}\left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}\right
A resposta correta é:
  1. \left.\Delta p\right|_{t_{0}} ^{t_{1}}=-2 M V_{0}
  2. \left.\Delta p\right|_{t_{1}} ^{t_{2}}=M V_{0}\left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}\right)

Passo 1

O enunciado dá uma bola de massa M lançada verticalmente para cima a partir do solo, no instante t_{0}, com velocidade inicial \;V_{0} (positiva para cima). A bola sobe, depois desce e atinge o solo no instante t_{1}. Ao encostar no solo ela “repica” e, no instante t_{2} logo em seguida, despega do solo para cima com perda de metade da sua energia cinética. As perguntas são duas:
  1. Qual é o impulso que a Terra realiza, pela gravidade, sobre a bola durante o processo de subida+descida, ou seja \left.\Delta p\right|_{t_{0}}^{t_{1}} entre t_{0} e t_{1}?
  2. Qual é o impulso que a Terra (pelo contato com o piso) realiza sobre a bola durante o choque com o solo, ou seja \left.\Delta p\right|_{t_{1}}^{t_{2}} entre o instante em que ela toca o solo descendo ( t_{1}) e o instante em que sai do solo subindo ( t_{2})?
Informações relevantes listadas do enunciado:
  • Massa da bola: M.
  • Velocidade inicial para cima em t_{0}: V_{0}.
  • Ao voltar a atingir o solo (em t_{1}) a velocidade, imediatamente antes do contato, terá mesma magnitude de V_{0} mas sentido para baixo (pois desprezamos resistência do ar).
  • Após o choque, a energia cinética da bola é reduzida à metade (isto é, K_{\text{após}} = \tfrac{1}{2}K_{\text{antes}}ó).
  • Considerar positivo para cima.

Passo 2

Conceito essencial: impulso e quantidade de movimento (momento linear).
  • Definição de quantidade de movimento (momento linear): a quantidade de movimento de um objeto é
p = M v,
onde M é a massa e v a velocidade (com sinal).
  • Definição de impulso de uma força \vec{F} durante um intervalo de tempo: o impulso é a integral da força no tempo e é igual à variação da quantidade de movimento:
\Delta p = \int_{t_a}^{t_b} F\,dt = p(t_b)-p(t_a).
Aqui usamos a componente vertical (positivo para cima). Isso quer dizer que para achar o impulso de uma força basta calcular a variação de p durante o intervalo correspondente, desde que essa força seja a única ou que separemos os impulsos das diferentes forças (por exemplo: impulso da gravidade e impulso da força de contato com o solo).

Passo 3

Primeira parte: impulso da gravidade entre t_{0} e t_{1}.
Determine as quantidades de movimento nos instantes extremos:
  • Em t_{0} (lançamento para cima) a velocidade é \;V_{0} para cima, então
p(t_{0}) = M V_{0}.
  • Em t_{1} (quando a bola volta a atingir o solo, imediatamente antes do contato) — desprezando resistência do ar e usando conservação de energia no voo — a bola terá a mesma velocidade em módulo que saiu, mas para baixo; portanto a velocidade é -V_{0} (sinal negativo porque é para baixo), logo
p(t_{1}) = M(-V_{0}) = - M V_{0}.

Passo 4

Calcule a variação de momento (impulso) da gravidade no voo:
Usando \Delta p = p(t_{1})-p(t_{0}), obtemos
\left.\Delta p\right|_{t_{0}}^{t_{1}} = -M V_{0} - M V_{0} = -2 M V_{0}.
Interpretação física: a gravidade (força peso apontando para baixo) fornece um impulso total para baixo igual a -2MV_{0} durante todo o trajeto subida+descida. O sinal negativo indica que o impulso é para baixo. (Dá um ânimo: é simples assim — é só subtrair os momentos.)

Passo 5

Comentário didático sobre por que a velocidade quando volta ao solo tem módulo V_{0}:
Como desprezamos resistência do ar, a energia mecânica durante o voo é conservada. No lançamento a energia cinética inicial é \tfrac{1}{2}M V_{0}^{2}. No ponto mais alto toda essa energia vira potencial, e ao descer volta a ser cinética com mesma magnitude — por isso, ao atingir o solo novamente, a velocidade em módulo é V_{0}, porém para baixo.

Passo 6

Segunda parte: impulso durante o contato com o solo (entre t_{1} e t_{2}).
Precisamos da velocidade imediatamente antes e imediatamente depois do choque:
  • Velocidade imediatamente antes do choque (em t_{1}): como já dito,
v_{\text{antes}} = -V_{0},
portanto
p_{\text{antes}} = - M V_{0}.
  • Velocidade imediatamente depois do choque (em t_{2}): o enunciado diz que a bola perde metade de sua energia cinética no choque. Seja K_{\text{antes}} a energia cinética imediatamente antes do choque:
K_{\text{antes}} = \tfrac{1}{2} M V_{0}^{2}.
A energia após o choque é metade disso:
K_{\text{após}} = \tfrac{1}{2} K_{\text{antes}} = \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}M V_{0}^{2}\right) = \tfrac{1}{4} M V_{0}^{2}.ó
Agora obtenha a velocidade após o choque a partir de K_{\text{após}} = \tfrac{1}{2} M v_{\text{após}}^{2}óó. Assim,
\tfrac{1}{2} M v_{\text{após}}^{2} = \tfrac{1}{4} M V_{0}^{2}.ó
Cancelando M e resolvendo para v_{\text{após}}ó,
v_{\text{após}}^{2} = \tfrac{1}{2} V_{0}^{2} \quad\Rightarrow\quad v_{\text{após}} = \frac{V_{0}}{\sqrt{2}}.óó
O sinal é positivo porque a bola sai do solo para cima. Portanto
p_{\text{após}} = M \frac{V_{0}}{\sqrt{2}}.ó

Passo 7

Calcule a variação total de momento durante o choque (isto é, a mudança de p entre t_{1} e t_{2}):
\Delta p_{\text{choque}} = p_{\text{após}} - p_{\text{antes}} = M\frac{V_{0}}{\sqrt{2}} - \bigl(-M V_{0}\bigr) = M V_{0}\left(\frac{1}{\sqrt{2}} + 1\right).ó
Podemos escrever em forma mais bonita juntando frações:
\Delta p_{\text{choque}} = M V_{0}\left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 8

Interpretação física e aproximação usada:
Durante o intervalo de contato com o solo atuam duas forças verticais principais: o peso Mg (para baixo) e a força normal da superfície (para cima). O impulso total sobre a bola no intervalo t_{1} a t_{2} é a soma dos impulsos dessas forças. Porém, o choque com o solo costuma ocorrer num intervalo de tempo muito curto; por isso o impulso devido à força peso ( \int Mg\,dt) durante o choque é desprezível frente ao impulso muito maior e concentrado produzido pela força de contato com o solo. Assim, comumente tratamos a variação de momento durante o choque como sendo praticamente igual ao impulso fornecido pelo piso (força normal). Portanto:
\left.\Delta p\right|_{t_{1}}^{t_{2}} \text{(impulso do piso)} \approx \Delta p_{\text{choque}} = M V_{0}\left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}\right).
Se precisássemos incluir o pequeno impulso do peso durante o choque, subtrairíamos \int_{t_{1}}^{t_{2}} Mg\,dt, mas o enunciado e as alternativas indicam a aproximação padrão de choque quase-instantâneo, então usamos \Delta p_{\text{choque}} como impulso do piso.

Passo 9

Resumo final dos resultados (sem desenvolvimentos):
  • Impulso da gravidade entre t_{0} e t_{1}: \left.\Delta p\right|_{t_{0}}^{t_{1}} = -2 M V_{0}.
  • Impulso do piso (força de contato) entre t_{1} e t_{2}: \left.\Delta p\right|_{t_{1}}^{t_{2}} = M V_{0}\left(\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}\right).

Resposta

\left.\Delta p\right|_{t_{0}}^{t_{1}} = -2 M V_{0}
\left.\Delta p\right|_{t_{1}}^{t_{2}} = M V_{0}\left(\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}\right)

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