Uma bola com massa
é atirada no instante to verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade
. Despreze a resistência do ar e considere positivo para cima. Quando ela volta e atinge novamente o solo, no instante
, é repicada e no instante
logo após, ela despega do solo e volta a subir, com perda de metade de sua energia cinética.
Responda:
- Qual é o impulso que a Terra realiza, pela gravidade, sobre a bola durante seu processo de subida e descida,
?
- Qual é o impulso que a Terra realiza, pelo contato com o piso, sobre a bola no processo em que ela repica no solo,
(ao encostar no solo descendo) e
(ao despegar do solo subindo)?
Escolha uma:
-
-
-
-
A resposta correta é:
-
-
)
Responda:
Passo 1
O enunciado dá uma bola de massa
lançada verticalmente para cima a partir do solo, no instante
, com velocidade inicial
(positiva para cima). A bola sobe, depois desce e atinge o solo no instante
. Ao encostar no solo ela “repica” e, no instante
logo em seguida, despega do solo para cima com perda de metade da sua energia cinética. As perguntas são duas:
- Qual é o impulso que a Terra realiza, pela gravidade, sobre a bola durante o processo de subida+descida, ou seja
entre e ? - Qual é o impulso que a Terra (pelo contato com o piso) realiza sobre a bola durante o choque com o solo, ou seja
entre o instante em que ela toca o solo descendo ( ) e o instante em que sai do solo subindo ( )?
Informações relevantes listadas do enunciado:
- Massa da bola:
. - Velocidade inicial para cima em
: . - Ao voltar a atingir o solo (em
) a velocidade, imediatamente antes do contato, terá mesma magnitude de mas sentido para baixo (pois desprezamos resistência do ar). - Após o choque, a energia cinética da bola é reduzida à metade (isto é,
). - Considerar positivo para cima.
Passo 2
Conceito essencial: impulso e quantidade de movimento (momento linear).
- Definição de quantidade de movimento (momento linear): a quantidade de movimento de um objeto é
onde
é a massa e
a velocidade (com sinal).
- Definição de impulso de uma força
durante um intervalo de tempo: o impulso é a integral da força no tempo e é igual à variação da quantidade de movimento:
Aqui usamos a componente vertical (positivo para cima). Isso quer dizer que para achar o impulso de uma força basta calcular a variação de
durante o intervalo correspondente, desde que essa força seja a única ou que separemos os impulsos das diferentes forças (por exemplo: impulso da gravidade e impulso da força de contato com o solo).
Passo 3
Primeira parte: impulso da gravidade entre
e
.
Determine as quantidades de movimento nos instantes extremos:
- Em
(lançamento para cima) a velocidade é para cima, então
- Em
(quando a bola volta a atingir o solo, imediatamente antes do contato) — desprezando resistência do ar e usando conservação de energia no voo — a bola terá a mesma velocidade em módulo que saiu, mas para baixo; portanto a velocidade é (sinal negativo porque é para baixo), logo
Passo 4
Calcule a variação de momento (impulso) da gravidade no voo:
Usando
, obtemos
Interpretação física: a gravidade (força peso apontando para baixo) fornece um impulso total para baixo igual a
durante todo o trajeto subida+descida. O sinal negativo indica que o impulso é para baixo. (Dá um ânimo: é simples assim — é só subtrair os momentos.)
Passo 5
Comentário didático sobre por que a velocidade quando volta ao solo tem módulo
:
Como desprezamos resistência do ar, a energia mecânica durante o voo é conservada. No lançamento a energia cinética inicial é
. No ponto mais alto toda essa energia vira potencial, e ao descer volta a ser cinética com mesma magnitude — por isso, ao atingir o solo novamente, a velocidade em módulo é
, porém para baixo.
Passo 6
Segunda parte: impulso durante o contato com o solo (entre
e
).
Precisamos da velocidade imediatamente antes e imediatamente depois do choque:
- Velocidade imediatamente antes do choque (em
): como já dito,
portanto
- Velocidade imediatamente depois do choque (em
): o enunciado diz que a bola perde metade de sua energia cinética no choque. Seja a energia cinética imediatamente antes do choque:
A energia após o choque é metade disso:
Agora obtenha a velocidade após o choque a partir de
. Assim,
Cancelando
e resolvendo para
,
O sinal é positivo porque a bola sai do solo para cima. Portanto
Passo 7
Calcule a variação total de momento durante o choque (isto é, a mudança de
entre
e
):
Podemos escrever em forma mais bonita juntando frações:
Passo 8
Interpretação física e aproximação usada:
Durante o intervalo de contato com o solo atuam duas forças verticais principais: o peso
(para baixo) e a força normal da superfície (para cima). O impulso total sobre a bola no intervalo
a
é a soma dos impulsos dessas forças. Porém, o choque com o solo costuma ocorrer num intervalo de tempo muito curto; por isso o impulso devido à força peso (
) durante o choque é desprezível frente ao impulso muito maior e concentrado produzido pela força de contato com o solo. Assim, comumente tratamos a variação de momento durante o choque como sendo praticamente igual ao impulso fornecido pelo piso (força normal). Portanto:
Se precisássemos incluir o pequeno impulso do peso durante o choque, subtrairíamos
, mas o enunciado e as alternativas indicam a aproximação padrão de choque quase-instantâneo, então usamos
como impulso do piso.
Passo 9
Resumo final dos resultados (sem desenvolvimentos):
- Impulso da gravidade entre
e : - Impulso do piso (força de contato) entre
e :