Um objeto de massa m cai sob a ação da gravidade na presença do ar e sofre uma força de resistência (atrito) do ar que é dada por F_{\mathrm{as}}=-A v^{2}, onde A é uma constante positiva que depende da forma do objeto. Portanto, quanto maior sua velocidade, maior é a força de resistência (e sempre oposta ao sentido da velocidade). Dessa forma, se sua altura inicial for suficientemente grande, qualquer objeto atingirá um regime de queda com velocidade constante. Calcule a velocidade terminal, V_{\text {terminal }}, \mathrm{e} a potência da força da gravidade, P_{\mathrm{grav}}, gasta para manter o objeto com essa velocidade terminal enquanto cai.
Escolha uma:
\bigcirc V_{\text {terminal }}=\sqrt{\frac{m g}{A}} \quad e \quad P_{\text {grav }}=\sqrt{\frac{(m g)^{3}}{A}}
\bigcirc V_{\text {terminal }}=\frac{m g}{\sqrt{A}} e P_{\text {grav }}=\frac{(m g)^{2}}{\sqrt{A}}
\bigcirc V_{\text {terminal }}=\frac{m g}{A} \quad e \quad P_{\text {grav }}=\frac{(m g)^{2}}{A}
\bigcirc V_{\text {terminal }}=\sqrt{\frac{m g}{A}} \quad e \quad P_{\text {grav }}=\sqrt{\frac{(m g)^{2}}{A}}
A resposta correta é: V_{\text {terminal }}=\sqrt{\frac{m g}{A}} \quad e \quad P_{\text {grav }}=\sqrt{\frac{(m g)^{3}}{A}} .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a velocidade terminal V_{\text{terminal}} de um objeto de massa m que cai sob a gravidade e sofre força de resistência do ar F_{\mathrm{as}}=-A v^{2}, com A>0.
  • Calcular a potência da força da gravidade P_{\mathrm{grav}} necessária para manter o objeto caindo com essa velocidade terminal.
Informações dadas e relevantes:
  • Massa do objeto: m.
  • Aceleração da gravidade: g.
  • Força de resistência do ar: F_{\mathrm{as}}=-A v^{2} (sempre oposta ao sentido da velocidade).
  • Em regime permanente (velocidade terminal) a velocidade é constante, ou seja, a aceleração é zero.

Passo 2

Entendendo o equilíbrio de forças no regime terminal (passo conceitual importante).
  • Quando a velocidade é constante, a aceleração vale zero, logo a soma das forças sobre o objeto deve ser zero.
  • Tomando o sentido para baixo como positivo: força peso para baixo é mg (positiva) e a resistência do ar tem símbolo negativo, dada por -A V_{\text{terminal}}^{2}. A equação do equilíbrio fica:
mg - A V_{\text{terminal}}^{2} = 0.
  • Isso significa que, no equilíbrio, o módulo da força de arrasto iguala o peso: A V_{\text{terminal}}^{2}=mg.

Passo 3

Resolvendo a equação do equilíbrio para obter V_{\text{terminal}}.
  • A partir de A V_{\text{terminal}}^{2}=mg isolamos V_{\text{terminal}}^{2}:
V_{\text{terminal}}^{2} = \frac{mg}{A}.
  • Tomando a raiz quadrada (escolhemos a raiz positiva porque falamos da magnitude da velocidade):
V_{\text{terminal}}=\sqrt{\frac{m g}{A}}.
  • Verificação rápida de unidades: [A]=\dfrac{\text{N}}{(\text{m/s})^{2}}=\dfrac{\text{kg}}{\text{m}}, então \sqrt{\dfrac{mg}{A}} tem unidade \text{m/s} — consistente.

Passo 4

Definição e cálculo da potência fornecida pela força da gravidade.
  • Conceito: a potência instantânea de uma força é o produto escalar entre a força e a velocidade:
P=\vec{F}\cdot\vec{v}.
  • No caso da força peso atuando na mesma direção e sentido da velocidade (queda), a potência fornecida pela gravidade é simplesmente o produto das magnitudes:
P_{\mathrm{grav}} = mg \; V_{\text{terminal}}.

Passo 5

Substituindo V_{\text{terminal}} na expressão da potência e simplificando.
  • Substituímos V_{\text{terminal}}=\sqrt{\dfrac{mg}{A}} em P_{\mathrm{grav}}=mg\,V_{\text{terminal}}:
P_{\mathrm{grav}} = mg \cdot \sqrt{\frac{mg}{A}}.
  • Podemos agrupar sob uma raiz:
P_{\mathrm{grav}} = \sqrt{(mg)^{2}} \cdot \sqrt{\frac{mg}{A}} = \sqrt{\frac{(mg)^{3}}{A}}.
  • Observação de unidades: mg tem unidade de newton e multiplicado por velocidade dá watts; a expressão \sqrt{\dfrac{(mg)^{3}}{A}} também confere unidade de potência (W).

Passo 6

Comentário final e comparação com as alternativas.
  • As expressões obtidas são
V_{\text{terminal}}=\sqrt{\frac{m g}{A}} \qquad\text{e}\qquad P_{\mathrm{grav}}=\sqrt{\frac{(m g)^{3}}{A}}.
  • Essas correspondem exatamente à primeira alternativa listada no enunciado.

Resposta

V_{\text{terminal}}=\sqrt{\frac{m g}{A}}
P_{\mathrm{grav}}=\sqrt{\frac{(m g)^{3}}{A}}

Exercícios relacionados