Um objeto de massa
cai sob a ação da gravidade na presença do ar e sofre uma força de resistência (atrito) do ar que é dada por
, onde
é uma constante positiva que depende da forma do objeto. Portanto, quanto maior sua velocidade, maior é a força de resistência (e sempre oposta ao sentido da velocidade). Dessa forma, se sua altura inicial for suficientemente grande, qualquer objeto atingirá um regime de queda com velocidade constante. Calcule a velocidade terminal,
a potência da força da gravidade,
, gasta para manter o objeto com essa velocidade terminal enquanto cai.
Escolha uma:
e
e
e
e
A resposta correta é:
e
.
A resposta correta é:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular a velocidade terminal
de um objeto de massa que cai sob a gravidade e sofre força de resistência do ar , com . - Calcular a potência da força da gravidade
necessária para manter o objeto caindo com essa velocidade terminal.
Informações dadas e relevantes:
- Massa do objeto:
. - Aceleração da gravidade:
. - Força de resistência do ar:
(sempre oposta ao sentido da velocidade). - Em regime permanente (velocidade terminal) a velocidade é constante, ou seja, a aceleração é zero.
Passo 2
Entendendo o equilíbrio de forças no regime terminal (passo conceitual importante).
- Quando a velocidade é constante, a aceleração vale zero, logo a soma das forças sobre o objeto deve ser zero.
- Tomando o sentido para baixo como positivo: força peso para baixo é
(positiva) e a resistência do ar tem símbolo negativo, dada por . A equação do equilíbrio fica:
- Isso significa que, no equilíbrio, o módulo da força de arrasto iguala o peso:
.
Passo 3
Resolvendo a equação do equilíbrio para obter
.
- A partir de
isolamos :
- Tomando a raiz quadrada (escolhemos a raiz positiva porque falamos da magnitude da velocidade):
- Verificação rápida de unidades:
, então tem unidade — consistente.
Passo 4
Definição e cálculo da potência fornecida pela força da gravidade.
- Conceito: a potência instantânea de uma força é o produto escalar entre a força e a velocidade:
- No caso da força peso atuando na mesma direção e sentido da velocidade (queda), a potência fornecida pela gravidade é simplesmente o produto das magnitudes:
Passo 5
Substituindo
na expressão da potência e simplificando.
- Substituímos
em :
- Podemos agrupar sob uma raiz:
- Observação de unidades:
tem unidade de newton e multiplicado por velocidade dá watts; a expressão também confere unidade de potência (W).
Passo 6
Comentário final e comparação com as alternativas.
- As expressões obtidas são
- Essas correspondem exatamente à primeira alternativa listada no enunciado.